Иоганн Кеплер

Смолоду Кеплер был убежден в том, что бог создал мир в соответствии с принципом идеальных чисел и поэтому лежащая в основе мироздания математическая гармония является реальной и доступной пониманию причиной движения планет. В одной из своих первых работ «Космографическая тайна» (1596) он поставил задачу найти универсальный закон механики, справедливый на Земле, но который был бы верен и для всей вселенной и дал бы нам возможность понять ее. Научные знания он и позже соединял с богословскими. Так, в работе «Гармония Мира» он говорит о том, что есть гармония явлений в музыке и чистая гармония на основе математических представлений, которая возникает, когда обнаруженный порядок совпадает с врожденным первообразом, внесенным в сознание богом при создании человека. Тем самым, исследование природы становится исследованием мыслей бога. Однако он не мог понять, почему существует только шесть планет?

Кеплер вознамерился вывести из единого геометрического принципа число орбит, их относительные размеры и характер движения планет.

Ему казалось, что он открыл геометрический принцип, позволявший объяснить и число известных тогда планет (Меркурий, Венера, Земля, Марс, Юпитер и Сатурн) и относительные размеры орбит. Геометрия Солнечной системы, или тайна мироздания, заключалась в следующем. Земля (имеется в виду орбита Земли) есть мера всех орбит. Вокруг неё опишем додекаэдр. Описанная вокруг додекаэдра сфера есть сфера Марса. Вокруг сферы Марса опишем тетраэдр. Описанная вокруг тетраэдра сфера есть сфера Юпитера. Вокруг сферы Юпитера опишем куб. Описанная вокруг куба сфера есть сфера Сатурна. В сферу Земли вложим икосаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Венеры. В сферу Венеры вложим октаэдр. Вписанная в него сфера есть сфера Меркурия.

Если одну сферу плотно вложить внутрь куба, а другую описать вокруг куба, то отношение их радиусов будет равно 0,577.

Октаэдр дает такое же соотношение. Сферы икосаэдра и додекаэдра дают отношение 0,795, а сферы тетраэдра – 0,333. Эти числа чем-то напоминают отношения расстояний от Солнца соседних с ним планет. Хотя соответствие и было далеко не идеальным, Кеплер считал, что он в своих предположениях стоит на верном пути. Только гораздо позднее стало ясно, что идеальные тела вряд ли имеют что-то общее со строением солнечной системы. Кроме того, увеличилось число самих планет. Но тогда молодому Кеплеру очень хотелось подогнать планетные орбиты к идеальным телам, и он упросил Браге передать ему записи многолетних наблюдений за небесными телами.

Поскольку Всевышний, этот совершеннейший из строителей, с необходимостью должен был создать творение, обладавшее безупречной красотой, то для этого ему, подобно смертным, пришлось руководствоваться числом и мерой. Однако, линия и поверхность не содержат в себе числа - здесь царит неограниченное, пространственные тела – также, неправильные тела надлежит выбросить из рассмотрения, ибо речь идёт об основе наилучшим образом упорядоченного строения. Остается единственная возможность: определенным образом упорядоченная система пяти платоновых тел.

Таковы правдоподобные аргументы, а теперь следует перейти к определению планетных орбит и к геометрическим исследованиям. И вот здесь следует перейти к точным астрономическим данным, которыми тогда располагал лишь Тихо Браге, заключает Кеплер. Перед нами предстает мыслитель, занятый поисками ключа к строению Вселенной, - сверхпринципа, позволяющего единым взглядом охватить всё богатство явлений, обосновать общность всех частей солнечной системы.

Две фундаментальные идеи лежат в основе кеплеровской картины мира: геометрический (число планет и расстояния между орбитами определяются правильными платоновыми телами) и гармонический, управляющий эксцентриситетами и периодами обращения. Связь гармонических пропорций с пятью правильными телами показывает, что обе идеи не исключают, а скорее дополняют друг друга. Эту связь можно усматривать либо во внешних формах правильных тел, либо в пропорциях, возникающих при построении их граней, которые также гармоничны, либо в пропорциях уже построенных тел рассматриваемых как порознь, так и вместе, либо, наконец, в пропорциях, которые точно или приближенно совпадают с пропорциями вписанных и описанных сфер.

Геометрия правильных (платоновых) тел определяет лишь последовательность расположения планет, уступая затем роль структурного принципа гармоническим отношениям: Геометрический космос наиболее совершенного расположения (правильных тел) не может сосуществовать с наиболее гармоничным космосом.

Фиг. 73

На рис. изображена первая гипотеза Кеплера.

В правильный многоугольник, например квадрат, можно вписать окружность так, чтобы она касалась его сторон. Можно также описать окружность, проходящую через вершины квадрата. Для этой окружности можно в свою очередь построить правильный многоугольник, в который она будет вписана. Отношение радиусов R/r этих окружностей одинаково для всех квадратов. Другое значение R/r будет иметь место для всех треугольников. Геометрическая задача такова: каково будет отношение R/r для внутреннего и внешнего круга в случае квадрата? В случае треугольника?

Фиг.74

На рис. изображены те же две окружности, полученные вращением правильного многоугольника (в данном случае треугольника).

Вращение происходит вокруг центра в плоскости треугольника. Вершины его будут лежать на внешней окружности, а стороны, скользя, образуют внутреннюю окружность.

Фиг.75

На рис.изображены окружности, образованные рядом правильных многоугольников, разделенных внутренними и внешними окружностями.

Окружности можно подобрать так, чтобы их размеры соответствовали соотношениям размеров орбит планет. Однако даже при самом удачном выборе многоугольников не удается получить модели солнечной системы.

В книге Роджерса на с. 130

Кеплер не мог понять также, почему орбиты планет имеют именно такие пропорции и размеры? Связаны ли периоды обращения планет с размерами их орбит?

Вопрос о том, почему планет именно шесть был характерным для того времени. В наше время мы должны были бы искать седьмую планету, но тогда казалось, что факты непреложны и что числа обладают магическими свойствами. В системе Птолемея насчитывалось семь планет, включая Солнце и Луну и исключая Землю, и даже доказывалось, что их столько и должно быть.

Кеплер пытался снова и снова найти простое соотношение, связывающее радиус одной орбиты с радиусом следующей. Он вычислил, что радиусы орбит в системе Коперника приближенно соотносятся как 8:15:20:30:115:195 и пытался понять тайну этих отношений.

Фиг.76 на стр. 131 по книге Роджерса

На рис. отображена вторая гипотеза Кеплера.

Рисунок иллюстрирует усилия Кеплера, который хотел так расположить правильные многогранники, чтобы получить наилучшее согласие с известными соотношениями размеров орбит различных планет.

Его мистически настроенный ум заставлял его считать, подобно древним грекам, что окружности – идеальные формы. Одно время он думал, что можно построить модель орбит, по которым движутся планеты, следующим образом: начертить окружность вписать в нее равносторонний треугольник, затем вписать в этот треугольник еще окружность, в нее снова треугольник и так далее. Эта схема состоит из ряда окружностей, радиусы которых относятся как 2:1.

Кеплер надеялся, что можно построить такие окружности, отношения радиусов которых будут соответствовать отношениям радиусов орбит, если пользоваться вместо треугольников квадратами, шестиугольниками и так далее. Однако такие построения всякий раз оказывались неудовлетворительными, и однажды он воскликнул: почему фигуры, помогающие получить орбиты в пространстве, должны быть плоскими? Надо пользоваться объемными фигурами.

Он знал, что существует всего пять правильных многогранников. Греческие математики доказали, что их может существовать не более пяти. Попытавшись осуществить с помощью пяти таких многогранников систему из шести сфер, он нашел, что этим сферам будет соответствовать шесть определенных орбит.

Казалось бы, найдено чудесное объяснение того, почему существует только шесть планет. Строя систему планет, Кеплер начал со сферы для земной орбиты, построил вокруг нее додекаэдр так, что его грани соприкасались со сферой, затем описал вокруг этого додекаэдра другую сферу так, чтобы она проходила через его вершины. На этой сфере должна была лежать орбита Марса. Вокруг этой сферы он построил тетраэдр, затем сферу для Юпитера, затем куб и сферу для Сатурна.

Внутри земной сферы он поместил еще два многогранника, разделенные сферами, чтобы получить, таким образом, орбиты Венеры и Меркурия.

Относительные радиусы сфер, вычисленные на основе геометрии, находились в соответствии с известными в то время относительными радиусами орбит планет, и Кеплер был в восторге.

Теперь мы знаем, что это был случайный успех. Позже ему пришлось подгонять соотношение радиусов своих орбит, чтобы они соответствовали фактам, а когда были открыты другие планеты, схема Кеплера оказалась совершенно несостоятельной. Но именно этот успех привел его к великим открытиям.

Знакомство с Тихо Браге, начавшееся с выяснения загадочного поведения планеты Марс, переросло в сотрудничество в одной лаборатории, оно длилось вплоть до самой смерти Браге, который передал Кеплеру свой объемный массив данных о наблюдениях за небесными светилами и планетами.

Пользуясь представлениями о круговых орбитах, Кеплер предположил, что Марс движется по кругу на некотором расстоянии, от центра которого находится Солнце. Однако постепенно он приходит к иному выводу: круговая орбита не соответствует действительности. Не зная ответа, он наугад выбирал направления, пытаясь так расположить круговую орбиту, чтобы получить соответствие с наблюдениями. Каждая такая попытка требовала долгих и утомительных вычислений. Кеплер произвел 70 таких попыток, прежде чем нашел направление и пропорции, которые находятся в хорошем соответствии с ранее измеренными долготами Марса. Его очень обрадовали эти результаты, но затем, к его разочарованию, оказалось, что схема плохо согласуется с широтами Марса. Он подогнал свои эксцентрические сдвиги так, чтобы они удовлетворяли этим широтам, однако на некоторых участках орбиты вычисленное положение Марса расходилось с наблюдениями на 8 минут. Вначале Кеплер пытался понять движение Марса, следуя старому принципу кругового движения. После года упорной борьбы с кругами и эпициклами, он пришел к выводу, что с их помощью нельзя объяснить движение Марса. Фактически все упиралось в небольшие отклонения в 8 упрямых минут дуги, которые никак не удавалось объяснить с помощью кругов. И он прозорливо говорил, что эти 8 минут дуги, которые я не могу отбросить, приведут к полному изменению астрономии.

Вопреки сложившимся подходам он решил для своих целей использовать эллиптическую орбиту. Эллипсы были известны еще со времен Аполлония, который не только изучал эти кривые линии наряду с другими космическими сечениями – гиперболой и параболой – но и был автором теории эпициклов в движении планет. Математика не стыковалась с физикой и астрономией.

Была ли это ошибка Тихо? Вряд ли, думал Кеплер: датский астроном был очень точен в наблюдениях. И Кеплер решил, что на основе этих 8 минут он должен построить теорию вселенной.

Кеплер приступает к определению орбиты Земли в пространстве и времени. Ему стало ясно, что круговая орбита не соответствует действительности. Однако, чтобы определить, какова же на само деле форма орбиты, он должен был получить точное изображение орбиты Марса. Это было очень сложной задачей, т.к. с движущейся Земли можно было наблюдать лишь часть орбиты Марса. Истинные расстояния были неизвестны, а были известны лишь углы, которые характеризовали лишь комбинацию орбитальных движений Марса и Земли.

Тогда Кеплер попытался вначале определить орбиту Земли с помощью метода, который можно назвать гениальным.

Вкратце опишем его. Чтобы вывести на диаграмму орбиту Земли, по которой она движется вокруг Солнца, нужно произвести много серий измерений, определяющих положение Земли из двух неподвижных точек. Одна из них – Солнце, другая – Марс в различные моменты времени, когда он находился в одном и том же положении на орбите. Кеплер отмечал положение Марса на фоне звезд при противостоянии по отношению к Солнцу. В полночь, прямо над головой. Отсюда он определял направление базы Солнце – (Земля) – Марс. Затем находил в записях Браге время, в точности соответствующее тому, которое прошло с данного момента за один марсианский год, что было к тому времени уже известно.

Выяснив подлинную орбиту Земли, он смог провести исследование в обратном порядке и определить форму орбиты Марса. При этом он убедился, что орбиту Земли можно считать круговой со слегка смещенным центром, т.е. несколько напоминающей овал. Но вот орбита Марса не имела сходства с кругом, она представляла собой вполне определенный овал, математическое выражение которого Кеплер пока еще не смог найти.

Кеплер предпринимает новый решающий шаг в своих исследованиях, пытаясь установить скорости планет. Изучая движение Земли в пространстве, он заметил, что она движется по своей орбите неравномерно, быстрее зимой, чем летом, и стал искать закон, по которому происходит изменение скорости и который мог бы заменить искусственный прием введения эквант. На мысль о существовании такого закона наводила прежняя гипотеза об импульсе, получаемом планетами от Солнца. Кеплер считал, что движение должно поддерживаться силой, поэтому у него возникло представление о некоем «плече», идущем от Солнца к каждой планете и толкающем планету вдоль орбиты, и чем дальше расстояние, тем слабее должен быть толчок.

Кеплер пытался с помощью сложной геометрической схемы сложить действия таких толчков от расположенного эксцентрично Солнца и открыл простой закон: радиус-вектор, проведенный от Солнца к планете, описывает одну и ту же площадь за равные промежутки времени. Этот радиус-вектор не вращается вокруг Солнца с постоянной скоростью, как хотелось бы Птолемею, но в его движении имеется некоторое постоянство – постоянная скорость происхождения одной и той же площади.

Таким образом, он получил простой закон, определяющий скорости планет: каждая планета движется вокруг Солнца с такой скоростью, что радиус-вектор, проведенный от светила к планете, описывает равные площади за равные промежутки времени.

Вслед за этим Кеплер устанавливает закон, определяющий форму орбиты планет. Начал он с того, что, начертив орбиту Марса по 40 тщательно вычисленным точкам, попытался дать математическое выражение для ее овальной формы. При этом он испытывал бесконечные затруднения. Одно время даже думал, что сходит с ума. И все же успех пришел. Истинная орбита Марса была заключена между эксцентрическим кругом, который был слишком велик по сравнению с ней, и вписанным внутрь круга эллипсом, который был слишком узок. И круг и эллипс расходились с наблюдениями, круг на +8 минут в некоторых участках орбиты, а внутренний эллипс на -8 минут.

Кеплер внезапно понял, что орбита должна представлять собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Фиг.80

На рис. представлено определение орбиты Марса по Кеплеру

Орбита Марса представляет собой эллипс, в одном из фокусов которого находится Солнце. Плечо, идущее от Солнца к планете, описывает равные площади на равные промежутки времени. На окружности эллипса отмечены положения планеты через промежутки времени, равные 1/20 времени обращения Марса (марсианского года). Скорость планеты при ее движении по орбите меняется так, что все указанные здесь секторы имеют одинаковые площади.

и фиг.81

На рис. изображена солнечная система с окружающими Солнце эллиптическими орбитами.

Орбиты планет в нашей солнечной системе имеют значительно меньшие эксцентриситеты. Кометы движутся по эллиптическим орбитам с большими эксцентриситетами.

на с. 141 книги Роджерса.

Подобное правило оказалось справедливым для Земли и других планет: каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.

Теперь Кеплеру были известны радиусы орбит планет, а периоды их обращения были хорошо известны с древних времен. Как предполагали греки, планеты с большими периодами обращения имеют и наибольшие орбиты. Он переполнялся уверенность в том, что между радиусом планеты и ее периодом обращения должно существовать определенное соотношение. И он его вывел как соотношение квадратов радиусов (R) и периодов обращения планет (T).

Значение трудов Кеплера огромно. Он искал первопричины, математические гармонии, возникавшие у творца при сотворении мира. Кеплер не мог объяснить, чем обусловлено существование эллиптических орбит, но восхищался тем, что они существуют. Он открыл законы, которые затем Ньютон связал с законом всемирного тяготения.

Несколько методологических замечаний. Вывод третьего закона Кеплера сводился к угадыванию числового соотношения, которое было бы справедливо для нескольких пар чисел. Пытаясь удовлетворить определенному количеству данных (в рассматриваемом случае значениям T и R для шести планет) можно сделать много неудачных попыток, и из подобных попыток, удовлетворяющих T и R для шести планет, многие оказываются неверными в применении к седьмой планете (Урану, открытому позже). В свою очередь успешные попытки для семи планет неверны для восьмой планеты (Нептуна). Привлечение все большего числа данных может устранить «неверные» попытки и оставить лишь «правильную». Но в каком смысле данная догадка «правильная»?

Некоторые верят, пишет Э.Роджерс, что в основе вещей, которые мы наблюдаем в природе, лежит некая абсолютная истина. Кеплер и Ньютон, вероятно, думали так же. Другие считают, что верное правило это просто то, что имеет наиболее общее применение (например, для наибольшего числа планет).

В этом смысле предположение Кеплера о соотношение квадратов радиусов и времени обращения планет постоянно для всех планет является правильным, так как оно справедливо и для других планет, которые были открыты позднее, а также для других систем, например, для спутников Юпитера.

Его правило для пяти правильных многогранников было неверным, так как не соответствовало данным для шести известных планет, и оказалось совершенно несостоятельным для случая более шести планет.

Утверждают также, что верен закон, который наилучшим образом соответствует теории, связывающей воедино огромное многообразие наших знаний о природе. Если эта теория была создана только для решения какой-либо частной задачи, как рабочая гипотеза, то данное утверждение становится бессмыслицей – и в этом случае оно лишь означает, что закон верен только потому, что согласуется с теорией, специально созданной в предположении, что закон верен. Такую теорию называют теорией ad hoc, т.е. теорией для данного случая. Если же, однако, теория связывает данную проблему с другой областью науки, то данный закон служит ей убедительной рекомендацией.

Ньютон, строя догадки о существовании всемирного тяготения, создал теорию, связывающую падение тел, движение Луны и движение планет с приливами и отливами. Он показал, что третий закон Кеплера, как и первые два, с необходимостью следуют из его теории. Таким образом, закон, устанавливающий соотношение квадратов радиусов и периодов обращения планет, можно считать верным согласно обоим указанным выше определениям: и по общей применимости, и по согласию с теорией. Он мог оказаться «неверной» догадкой, ожидающей, подобно закону пяти правильных многогранников, большего количества данных, чтобы быть опровергнутым, или теории, которая не могла бы его «предсказать».

Воздавая должное Кеплеру, мы не должны забывать о том, что он не ограничился размышлениями о том, какие причины заставляют планеты двигаться в небе – система окружностей Птолемея, или вихревые движения в более поздних гипотезах. Кеплером руководило чувство математической формы, идея, согласно которой планета должна двигаться так, чтобы соблюдалось равенство площадей, описываемых за одно и то же время радиусом-вектором. С Ньютоном на сцену истории науки вновь выходит идея вселенной-механизма.

Многих в ту пору удивляла способность планет двигаться по замкнутым орбитам. Как они выходят на свой путь обратно к той же точке в пространстве и повторяют ту же вытянутую траекторию? Для объяснения физики этого движения Кеплер привлекает две силы: одна из них ведет планету по кругу, а вторая, типа «магнетизма», заставляет ее отклоняться от круга. Эти две силы каким-то образом так точно согласованы, что получается идеальный эллипс. Позже Ньютон покажет, что одной лишь силы гравитации достаточно для объяснения замкнутой формы планетных орбит.

Для Кеплера вселенная все еще оставалась конечной, со звездами, которые прикреплены к внешней сфере. Внутри этой сферы был наш мир, источник математических законов природы.

Действие земных сил исследует Галилей, небесными силами стал заниматься Ньютон, а позже силами внутри вещества – М.Фарадей и Дж.Максвелл.