2.8.3.4 Математичне узагальнення

Математичним узагальненням, які дозволили сягнути злету механічної концепції світу, були поняття похідної, диференціала й інтеграла — основи для аналізу нескінченно малих. Створюючи аналіз нескінченно малих, Ньютон виходив з поняття похідної. її прообразом була змінна швидкість тіла, що рухається під дією сили.

Якщо тіло рухається за інерцією, то рух відбувається за законом, що пов'язує положення тіла з часом, -тобто йдеться про лінійну залежність цього положення від часу. Швидкість на всьому відрізку постійна, вона збігається зі швидкістю в точці, і шлях тіла ми визначаємо, помноживши час руху на цю незмінну швидкість. Якщо ж тіло рухається під впливом незмінної сили, то постійною є не швидкість, а прискорення.

Ньютон узагальнює поняття шляху, пройденого частинкою, і її швидкості й уводить поняття флюенти (змінної) і флюксії (швидкості зміни флюенти, тобто похідної цієї змінної). У Ньютона не було виразного уявлення про флюксії як про границю відношення залежної змінної до її аргументу. Але Ньютон указав шлях, що веде до такого уявлення, ввівши поняття, які допомогли сформулювати концепцію нескінченно малих змінних величин і похідної як їх граничного відношення. Граничне відношення, наприклад граничне відношення шляху до часу, тобто швидкість, з абсолютною точністю характеризує рух у даній точці й у даний момент часу. Констатація швидкості в точці й узагалі будь-якого граничного відношення змінних величин не пов'язана з яким-небудь компромісним ігноруванням справжньої довжини величин, нескінченно малі зберігають свою довжину, і ми визначаємо похідну не як відношення цих змінних величин, а як границю, до якої наближається це відношення, коли змінні прямують до нуля.

Ньютон обрав шлях, що веде до уявлення про нескінченно малі як змінні величини і до поняття границі, уводячи "перші відношення" величин, що зароджуються, і

"останні відношення" зникаючих величин. Ці поняття фігурують у "Міркуваннях про квадратури кривих" і в "Началах". Тут мова йде аж ніяк не про "останні відношення" величин у той момент, коли ми визнаємо їх достатньо малими, щоб знехтувати ними, мова йде про "останні відношення", до яких змінні величини прямують, не досягаючи їх, тобто про граничні відношення.

У роботі "Метод флюксій і нескінченних рядів" Ньютон розглядає дві задачі — визначення флюксій за флюентами, наприклад, миттєвої швидкості за пройденим шляхом (тобто про задачу диференціювання), і визначення флюент за флюксіями, наприклад, шляху за швидкістю (тобто про задачу інтегрування).

Ньютон увів позначення для похідних: першу похідну від величини X він позначив X, другу — X. Таким чином, якщо X — координата частинки, то її швидкість X, а прискорення X. Для похідних за часом ці позначення застосовуються й у наш час. Запропоновані математичні поняття являють собою узагальнення механічних категорій. Відповідно, незалежною змінною може бути будь-яка величина, якщо розглядати відношення до неї всіх інших величин, які можуть змінюватися як рівномірно, так і довільно. Подібне узагальнення сприяє становленню нових фізичних понять. Уявімо собі, що незалежною змінною є простір, наприклад, відстань від центра тяжіння, і нам потрібно обчислити силу тяжіння в кожній точці. У наш час відомо, що розв'язання подібних задач пов'язане з уявленням про силове поле — простір, де кожній точці відповідає певне значення сили, що діє на одиничну масу. Ми знаємо також, що подібна формальна континуалізація тяжіння, що заповнює простір суто математичними величинами, перетворилася згодом на картину матеріального середовища, в якому сила передається від точки до точки (після того, як було доведено існування скінченної швидкості поширення взаємодії). Таким чином, математичне узагальнення механіки дальньої дії сприяло створенню фізики близької дії.