3.5.5 Співвідношення невизначеностей

На початку 1927 року практично одночасно відбулися дві важливі події. Гейзен-берг здогадався, що поняття "хвиля" и "частинка" стосовно квантових об'єктів можна застосовувати строго тільки порізно й виразив цей здогад кількісно у вигляді співвідношення невизначеностей. Бор запропонував загальний принцип додатковості, окремим випадком якого було співвідношення невизначеностей Гейзенберга.

Аналізуючи можливості вимірювання координати й імпульсу квантового об'єкта (наприклад, електрона), Гейзенберг стверджував: неможливо одночасно і до того ж точно виміряти координату й імпульс. Беручи до уваги формулу де Бройля

це означає: не можна одночасно й у той же час точно визначити положення х атомного об'єкта й довжину його хвилі X. Отже, одночасне використання понять "частинка" й "хвиля" є обмеженим. Чисельно таке обмеження виражає нерівність — співвідношення невизначеностей:

Одночасно визначити і координату, і імпульс частинки не можна точніше, ніж це допускає співвідношення невизначеностей. Чим точніше задано координату, тобто чим менше , тим менш точно можна задати імпульс, тому що величина обернено пропорційна . І навпаки, чим точніше задано імпульс частинки, тим гірше визначено її координату.

Обмеження, які встановлює співвідношення невизначеностей, є незмінним законом природи і ніяк не пов'язані з недосконалістю наших приладів. Посилання на всемогутність науки тут є недоречними; сила науки полягає не в тому, щоб порушувати закони природи, а в тому, щоб відкрити їх, зрозуміти й використовувати.

Пригадаємо одну обставину, добре відому з історії фізики. Винахідники дуже довго намагалися побудувати чи хоча 6 спроектувати вічний двигун, тобто машину, яка виконує роботу без підведення енергії ззовні. Петро І навіть заснував академію для проведення таких вишукувань. Однак аналіз будь-якого конкретного проекту вічного двигуна вже є помилковим. Сукупність усіх цих невдалих проектів, чи уявних експериментів, і привела до висновку, що вічного двигуна в природі не існує. Це твердження є одним з формулювань закону збереження енергії.

Подібним чином уявні досліди з вимірювання координати й імпульсу частинки привели Гейзенберга й Бора до іншого, не менш фундаментального закону — принципу невизначеностей: координата й імпульс частинки як точні фізичні величини одночасно не існують. Принципово не існує така процедура їх вимірювання, яка 6 привела до їх точного визначення. Це — не суб'єктивна неповноцінність експериментаторів, а об'єктивний закон природи.

На тих, хто бажає спростувати співвідношення невизначеностей, чекає доля винахідників вічного двигуна. Такі досліди намагався придумати сам Ейнштейн, але і він не зміг стати над природою. Цей приклад повчальний для тих, хто і в наш час намагається обійти обмеження, які накладає принцип невизначеностей.

Принцип невизначеностей не заперечує факту існування координати й імпульсу як точних фізичних величин: він тільки стверджує, що ці величини не існують одночасно як точні. Кожну з них окремо можна точно задати чи як завгодно точно виміряти.

Це твердження означає відмову від традиційних фізичних уявлень. Коли ми говоримо про траєкторію частинки, то розуміємо, що для кожного моменту часу відомо її положення (координата) й швидкість (імпульс). Принцип невизначеності позбавляє смислу поняття траєкторії, коли йдеться, звичайно, тільки про мікрочастинки. Для макрочастинок стала Планка — занадто мала величина, а значить координата й швидкість можуть бути визначені разом з будь-якою потрібною точністю, тобто траєкторія макрочастинки існує завжди.

Таким чином, квантова механіка створила особливу концепцію механічного руху — не по траєкторії. Рух по траєкторії був можливим завдяки точному передбаченню майбутнього, знаючи минуле. У квантовій механіці передбачення має імовірнісний характер. Це не означає відмови від закономірностей руху — просто закони квантової механіки описують не самі величини, а імовірності їхньої появи. Можна, наприклад, визначити ймовірність того, що електрон виявиться в тій чи іншій точці простору, але не можна передбачити заздалегідь, в яку саме точку він потрапить.

Отже, на відміну від класичних законів руху, квантові закони самі містять у собі поняття ймовірності і це не пов'язано з недосконалістю наших приладів, а є сутністю природи речей.

Для пояснення причин, які призводять до обмежень, відображених у співвідношенні невизначеностей, Гейзенбергу й Бору довелося переглянути ще одну ідеалізацію класичної фізики — поняття спостереження. Сучасна фізика відрізняється від античної насамперед тим, що замінила умовивід дослідом. Сучасна фізика не заперечує, що явища природи існують незалежно від того, чи можемо ми їх спостерігати (так само, як і від нашої свідомості). Але вона стверджує: об'єктом спостереження ці явища стають тільки тоді, коли ми вкажемо точний спосіб вимірювання їх властивостей. У фізиці поняття "спостереження" та "вимірювання" нероздільні.

Спостерігаючи за світилами, люди колись вірили в те, що вони впливають на особисті долі людей. У наш час ми іронізуємо з приводу цього забобону (не будемо в даний момент обговорювати недавно відроджену моду на астрологічні прогнози, гадання, зняття псування, пристріту й т.п.). Але, імовірно, і наші не дуже далекі предки, які мали здатність науково мислити, посміялися б над твердженням, що коли-небудь з'являться такі неживі об'єкти, на які істотно впливають спостереження або вимірювання. Усякому зрозуміло, сказали б учені минулого, що Місяць і планети рухаються по своїх орбітах незалежно від астрономів і астрологів. Таким чином, механіка, яка виникла завдяки астрономічним вимірюванням, ніколи в минулому не ставила перед собою питання, якою є зворотна дія спостереження на об'єкт, і це, безумовно, не було потрібно доти, доки вивчався рух великих та важких тіл: планет, супутників, снарядів, ракет, машин і механізмів. Це питання є очевидно зрозумілим, і ніколи воно не виникало як окреме припущення — навіть під час найдокладнішого студіювання механіки. А механіка була основою всього точного природознавства.

Постараємося в наочній формі пояснити сутність радикальних змін у механіці, що виникли у зв'язку з відкриттям квантових законів руху.

Для цього обговоримо Деякі пункти, що не дискутувалися раніше, у доквантовій фізиці. Справа тут у необгрунтованій екстраполяції фізичних понять на такі об'єкти, до яких ці поняття незастосовні. Розглянемо процес фізичного вимірювання. Не усвідомивши змісту того, що відбувається при вимірюванні величини, неможливо визначити цю величину як фізичну. Перші вимірювання в науці були пов'язані зі знаходженням місця світил на небосхилі; звідси, як зазначалося, бере свій початок механіка.

Скільки б ми не аналізували сутність процедури вимірювання, вдаючись до цього прикладу, останнє, що може спасти на думку — це її вплив на вимірюваний об'єкт. Фіксуючи положення світила чи фотографуючи швидкісним методом кулю, що летить, ми ніяк не змінюємо їхній подальший стан. Так можна дійти висновку, що виникла майже позасвідома впевненість у тому, що фізичний об'єкт узагалі не повинен зазнавати жодного впливу з боку вимірювального приладу, оскільки в протилежному випадку неможливо реєструвати об'єктивні закономірності, що не залежать від бажання та свідомості експериментатора. Точніше, ми вважаємо, що експериментатор не повинен користуватися такими вимірювальними приладами, які здатні певним неконтрольованим чином діяти на об'єкт, що вимірюється. Зараз, неначе у ретроспективу добре видно, що ця вимога явно суперечить концепції атомізму. Але доки атом залишався радше умовивідним, аніж фізичним поняттям, ніхто, схоже, навіть не розмірковував про те, що прилад для вимірювань окремого атома сам не може бути меншим за атом. А якби й знайшовся мудрець, що своїм розумом дійшов до цього, його ідеї зустріли б, швидше за все, іронічну оцінку. Навіть тоді, коли квантова теорія вже існувала в її теперішньому вигляді, ідеї Бора і Гейзенберга щодо особливої ролі вимірювань у світі атомів багато вчених зустріли з великою недовірою. Причому Ейнштейн теж був серед цих багатьох.

Отже, у чому полягає взаємозв'язок між фізичним законом і фізичним вимірюванням? Оскільки чинність фізичного закону не залежить від волі спостерігача, на поставлене питання хотілося 6 відповісти так: те саме вимірювання, проведене в однакових умовах над тим самим об'єктом, завжди дає однаковий результат. Чи завжди це вірно? Для початку скористаємося наочною аналогією. Припустимо, що хтось захотів довідатися про показання секундоміра в темряві. Доведеться діяти на дотик. Але дотик до стрілки секундоміра, мабуть, вплине на її рух, і результат виявиться недостатньо точним, особливо якщо треба буде вимірювати проміжок часу між двома подіями. Як правило, ми використовуємо світлові хвилі, відбиті від стрілки, вважаючи, що це не позначається на її русі. Однак ще в 1900 році П. М. Лебедев експериментально довів, що світло тисне на тіла; ще раніше це було передбачено в електромагнітній теорії світла. Якщо уявити собі дуже легку стрілку секундоміра, то освітлення стане не менш грубою операцією, ніж обмацування. Чи можна тоді довідатися, які показання секундоміра? Один раз усе-таки можна, але після цього через грубе втручання хід секундоміра порушиться, причому так, що наступне показання ніяк не буде пов'язане з попереднім. Іншими словами, не можна виміряти проміжок часу, який розділяє два показання.

Атом з електроном, що рухається в ньому, — реальний аналог-маленького механізму, положення частинок якого неможливо визначити, не порушивши при цьому істотно сам рух. Причому це неможливо не технічно, а принципово. Чим точніше вимірюється координата електрона, тим сильніше змінюється його швидкість. Причому, і це дуже важливо, таку зміну швидкості не можна ні обчислити наперед, ні додатково визначити при вимірюванні координати.

Що відбудеться, якщо ми спробуємо виміряти координату електрона в атомі? Розміри атома — м. Тому для того, щоб одержати якесь розумне значення координати, треба хоч якось уточнити її — наприклад, виміряти з точністю до м. Адже достатньо сказати, що електрон знаходиться в атомі, і цим координату буде задано з точністю до м, і ніяких вимірювань не потрібно.

Щоб домогтися точності м при вимірюванні координати, треба спрямувати на атомний електрон інший електрон, довжина дебройлівєької хвилі якого м. Якщо вони зіштовхнуться, це значить, що атомний електрон дійсно був зареєстрований у настільки малій області простору. Електрон, що налітає, мав швидкість 7-Ю7 м/с - це легко обчислити за його дебройлівською довжиною хвилі. Так само просто обчислити і його енергію — одержимо 14000 еВ. Якщо такий енергійний електрон зіштовхнеться з атомним, він передасть йому значну частину своєї енергії. Яку саме? На це питання відповісти неможливо, тому що зіткнення відбулося приблизно в межах точності м, точніше сказати не можна, беручи до уваги, що такою була дебройлівська довжина хвилі електрона, що налітає. Отже, ми не знаємо точно, як відбувався пронес зіткнення: чи зіштовхнулися електрони "в лоб", чи тільки злегка "зачепили" один одного. Електрон, задіяний у вимірюваннях, одержав у результаті самого вимірювання координати невизначений імпульс (невизначену енергію). Ми бачимо, до якої міри визначення координати в квантовій механіці не схоже на прикладання лінійки до нерухомого предмета, як це робилося в класичній частині. Квантове вимірювання істотно впливає на вимірюваний об'єкт, і тим сильніше, чим більшої точності вимірювання вдається досягти. У класичній механіці завжди вважалося, що вимірювання зовсім не позначається на тій системі, над якою воно здійснюється. Спостереження за планетами, звичайно, не діє на їх рух. Але зовсім інша справа, коли йдеться про вимірювання характеристик електронів.

Невідомий імпульс, переданий при вимірюванні координати, саме такий, як цього вимагає принцип невизначеності, коли задано точність вимірювання координати. Ми вже вказували, що невизначеність координати є величиною порядку . Частинка, що налітає, може передати який завгодно імпульс — від нульового до повного імпульсу р. Отже, невизначеність імпульсу дорівнює . За співвідношенням де

Бройля .

На прикладі зіткнення електронів ми розглядаємо один з уявних експериментів, аналіз яких привів Гейзенберга і Бора до створення принципу невизначеності. При цьому зрозуміло, що справа тут не в недосконалості методів вимірювання, а в самій природі вимірювального процесу стосовно мікросвіту.

Якщо проаналізувати, звідки наша впевненість у тому, що класичні об'єкти завжди рухаються по траєкторіях, то стане зрозумілим, що це пов'язано з необмеженою можливістю здійснювати вимірювання, не впливаючи на самі об'єкти.

Коли йдеться про квантові об'єкти, то такої можливості немає, і не через технічну недосконалість методів вимірювання, а тому і тільки тому, що постійна Планка хоч і мала, але має скінченну величину. Отже, є всі підстави стверджувати, що координата й імпульс електрона не є спільними фізично реальними поняттями в одному і тому ж його стані. Або одне, або інше, або, нарешті, обидва з деякою невизначеністю. Безглуздо запитувати, чи тому їх не можна виміряти, що вони разом не існують, чи, навпаки, вони разом не існують тому, що їх не можна одночасно виміряти. Це те саме твердження.

Квантова механіка зовсім не повинна відповідати на питання, що таке електрон або як він "улаштований". Це — завдання теорії елементарних частинок — науки, далеко ще не завершеної. Назва "механіка" начебто підкреслює, що вивчаються певні закони руху, а не природа об'єктів, що рухаються. Подібно до цього класична механіка вивчає рух планет навколо Сонця, не виявляючи інтересу до того, яка їх будова. Квантова механіка пояснює рух електронів біля ядра в атомі на основі тих, і тільки тих властивостей ядер та електронів, які є важливими для даного, конкретного завдання. Це завдання квантова механіка вирішує із такою ж повнотою, як класична механіка вирішує основне завдання астрономії. У цьому розумінні квантова й класична механіки довершені однаковою мірою. Рівняння класичної механіки випливають із квантових рівнянь автоматично, якщо встановити в них, що постійна Планка k дорівнює нулю. (Точніше кажучи, у цьому граничному переході довжина хвилі, що відповідає руху частинки, вважається нескінченно малою порівняно з простором, у якому відбувається рух. Але довжина хвилі пропорційна сталій Планка, так що формально можна спрямувати до нуля /?). Тоді невизначеності Ах і Ар начебто розв'язуються і їх можна незалежно зробити як завгодно малими. Але це якраз і означає, що набирає сили поняття траєкторії.

Квантові закони руху не скасовують класичних, вони тільки встановлюють кількісну межу їх застосовності. Вона випливає із співвідношення невизначеності, причому за участі класичних понять координати й імпульсу. Доти, поки Аг і Лр малі порівняно з відповідними величинами х і pt що характеризують даний, конкретний рух по траєкторії, класичні закони руху застосовні. Але якщо невизначеності величин дорівнюють самим величинам або перевищують їх, необхідні квантові закони. На відміну від класичних, вони передбачають результати дослідів не однозначно, а ймовірнісним чином.