logo
Концепції сучасного природознавства Я

4.1.3 Неевклідові геометрії

Ми звикли, що сума кутів у будь-якому трикутнику дорівнює 180°; що через точку, яка лежить поза прямою, можна провести лише одну пряму, паралельну до даної. Це — постулати евклідової геометрії, властиві двовимірному простору, тобто площині. За аналогією ми вважаємо, що і наш тривимірний простір — евклідів простір, і всі аксіоми площинної геометрії справджуються й для простору трьох вимірів. Але в XIX столітті незалежно один від одного російський математик Микола Лобачевський і німецький учений ГеоргРіман довели, що можуть існувати й інші геометрії, відмінні від евклідової, і настільки ж внутрішньо несуперечливі.

Так, п'ятий постулат Евкліда стверджує, що через точку поза прямою можна провести лише одну пряму, паралельну даній. Однак, виявилося, що можливі й інші варіанти:

через точку поза прямою не можна провести жодної прямої, яка була б паралельна даній (постулат Рімана);

через точку поза прямою можна провести незліченну кількість прямих, паралельних даній (постулат Лобачевського).

Ці постулати викликають певне здивування. На площині вони й справді неправильні. Але, крім площини, у природі є й інші поверхні, а для них справджуються вже постулати Лобачевського й Рімана, а евклідова геометрія незастосовна.

Уявімо собі, наприклад, поверхню сфери. На ній найкоротша відстань між двома точками відраховується не по прямій (їх немає на сфері), а по дузі великого кола (так називають кола, радіуси яких дорівнюють радіусу сфери). На сфері виконується своя, сферична геометрія, для якої справджується таке твердження: сума кутів трикутника завжди більша за 180°. Уявімо собі трикутник на сфері, утворений двома меридіанами й дугою екватора. Кути між меридіанами й екватором дорівнюють 90°, а до їхньої суми додається кут між меридіанами з вершиною в полюсі (геометрія Рімана).

Існують і такі поверхні, для яких справедливим виявляється постулат Лобачевського. Такою поверхнею виявилася сідлоподібна поверхня (поверхня, схожа на сідло коня). Така поверхня називається псевдосферою. На ній сума кутів трикутника менша за 180°.

Чи є наш простір евклідовим, рімановим чи простором Лобачевского — однозначної відповіді на це питання немає. ,