2.9.4 Аналітична механіка системи матеріальних точок і тіл Лагранжа

Лагранж (1736—1813) остаточно порвав з геометричними методами Ньютона і з гордістю згявляв1 що в його "Аналітичній механіці" практично відсутні будь-які креслення. "Я поставив собі за мету, — пише Лагранж, — звести теорію механіки й методи вирішення пов'язаних з нею задач до загальних формул, простий розвиток яких містить всі рівняння, необхідні для вирішення кожної задачі". Сам Лагранж характеризував свої методи в такий спосіб: вони "не вимагають ні побудов, ні геометричних або механічних міркувань; вони потребують тільки планомірного й одноманітного ходу алгебраїчних операцій. Усі прихильники аналізу (аналізу нескінченно малих) із задоволенням переконаються в тому, що механіка стає новою галуззю аналізу". Ця характеристика означає, що аналітична механіка Лагранжа є галуззю аналізу: вона є механікою, позбавленою "механічних міркувань", тому що в ній зазначено загальні методи складання рівнянь для будь-якої задачі механіки, після чого вирішення стає суто математичною проблемою.

Як було зазначено вище, праця Ейлера — це механіка матеріальної точки й динаміка твердого тіла. Лагранж об'єднав механіку системи матеріальних точок і тіл та створив однаковий і загальний метод зведення механічних задач до вирішення відповідних математичних задач. При цьому він, природно, виходив з певних фізичних та експериментальних положень.

"Механіка" Лагранжа поділяється на дві частини: статику й динаміку. Статика Лагранжа базується на принципі віртуальних (можливих) швидкостей. "Під віртуальною швидкістю потрібно розуміти швидкість, яку тіло, що перебуває в рівновазі, здатне набути в той момент, коли рівновага порушена, тобто ту швидкість, яку б тіло фактично мало в першу мить свого руху". Принцип віртуальних швидкостей Лаг-ранж формулює в такий спосіб: "Якщо яка-небудь система, що складається з будь-якої кількості тіл або точок, на кожну з яких діють будь-які сили, знаходиться в рівновазі, і якщо ця система набуває будь-якого малого руху, у результаті якого кожна точка проходить нескінченно малий шлях, що являє собою її віртуальну швидкість, то сума сил, помножених кожна відповідно на шлях, який проходить у напрямку сили точка, в якій цю силу прикладено, завжди дорівнює нулю, якщо малі шляхи, пройдені в напрямку дії сил, вважати позитивними, а пройдені в протилежному напрямку вважати негативними".

Уводячи цей принцип, Лагранж посилався на дані досвіду. Він указував на загальний закон рівноваги машин: відношення сил обернене до відношення швидкостей точок, до яких вони прикладені, причому швидкості повинні вимірюватися в напрямку дії сил. Це положення, узяте в загальному вигляді, і є принципом віртуальних швидкостей, який "можна розглядати як своєрідну аксіому механіки. Утім, Лагранж навів і два докази принципу віртуальних швидкостей, один з яких заснований на "принципі блоків".

У динаміці Лагранж спирається на два закони: закон інерції і закон додавання рухів (за правилом паралелограма). Другий закон механіки Ньютона Лагранж виводить із цих двох законів.

Аналітична динаміка Лагранжа грунтується на загальній формулі, яку в наш час називають рівнянням Даламбера — Лагранжа, або загальним рівнянням динаміки. "Розвиток цієї формули, якщо при цьому взяти до уваги умови, які залежать від природи системи, дає всі рівняння, необхідні для визначення руху кожного тіла, після цього потрібно ці рівняння тільки інтегрувати, що є вже завданням аналізу".

Спираючись на своє загальне рівняння динаміки, Лагранж вивів диференціальні рівняння руху у двох виглядах, що відповідають двом видам рівнянь статики. Це відомі рівняння руху Лагранжа першого й другого роду. Рівняння руху другого роду можна скласти, знаючи загальне вираження тільки для двох величин: кінетичної енергії системи і її потенційної енергії. Кількість цих рівнянь мінімальна, вона дорівнює числу ступенів свободи системи. Разом із тим рівняння Лагранжа є дуже загальними; їх можна використовувати для різних фізичних систем, якщо стан таких систем можна описати за допомогою значень їх кінетичної і потенційної енергій. Крім того, рівняння руху у формі Лагранжа другого роду мають визначену структуру з математичної точки зору. Тому завдання їх вирішення (інтегрування) у загальному вигляді є досить визначеним, щоб досліджувати його суто математично.

У перші роки своєї наукової діяльності у зв'язку з роботами, пов'язаними з варіаційним численням, Лагранж багато уваги приділяв принципу найменшої дії. Він формулює цей принцип з повною визначеністю як суто механічну теорему, справедливу за певних умов. Це формулювання приводить до вже знайомого запису: перетворюється на нуль варіація суми величин виду

де - маса однієї з точок системи,

V - її швидкість,

dS - елемент шляху, чи, інакше кажучи, нескінченно малий відрізок траєкторії точки .

До цього Лагранж додає, що dS = V*dt, тому замість можна написати чи Тут під знаком інтеграла ми бачимо (подвоєну) живу силу точки, а так як нам потрібно взяти суму таких величин для всієї механічної системи, яка розглядається , то в підсумку під знаком інтеграла виявиться (подвоєна) жива сила всієї системи в будь-який момент. Таким чином, вважає Лагранж, розглянутий принцип зводиться, власне, до того, що сума живих сил усіх тіл від моменту, коли вони виходять із заданих точок, до того моменту, коли вони приходять в інші задані точки, є максимумом або мінімумом. Отже, цей принцип можна було б з повним правом назвати принципом найбільшої чи найменшої живої сили. На думку Лагранжа, таке формулювання мало б ту перевагу, що воно було б загальним як для руху, так і для рівноваги.

Ірландський математик, механік та астроном У. Р. Гамільтон, оцінюючи внесок, зроблений Лагранжем у розвиток механіки після Галілея і Ньютона, писав: "З усіх послідовників цих блискучих учених Лагранж, мабуть, більше, ніж який-небудь інший аналітик, зробив для того, щоб розширити й надати стрункості подібним до дедуктивних дослідженням, довівши, що найрізноманітніші наслідки, що стосуються руху системи тіл, можна вивести з однієї основної формули. При цьому краса методу настільки відповідає достоїнству результату, що ця велика робота перетворюється на своєрідну математичну поему". Цією поемою завершився плідний період розробки основ теоретичної механіки. Механіка стає зрілою, цілком сформованою галуззю природознавства.