2.9.5.3 М. В. Остроградський

Михайлові Васильовичу Остроградскому (1801—1861) належать першокласні дослідження з методів інтегрування рівнянь аналітичної механіки й розробки узагальнених принципів статики й динаміки. Найбільш відомі дослідження Петроградського стосуються узагальнення основних принципів і методів механіки.

Він зробив істотний внесок у розвиток варіаційних принципів, які як окремий випадок включають і динаміку. Остроградський, розглядаючи варіаційну задачу, в якій підінтегральна функція залежить від довільної кількості невідомих функцій і їх похідних як завгодно високого порядку, доводить, що задача зводиться до інтегрування канонічних рівнянь Гамільтона, які можна розглядати як таку форму, в яку можна перетворити будь-які рівняння, що виникають у варіаційній задачі. Він також показав, що й у більш загальному випадку, коли зв'язки й силова функція містять час, рівняння руху також можуть бути перетворені у форму Гамільтона. Роботи Остроградського з механіки стали джерелом для подальших досліджень з метою з'ясування основ варіаційних принципів механіки.

У 1866 р. Остроградський висловив сумнів стосовно справедливості принципу найменшої дії Лагранжа. Основні заперечення Остроградського зводяться до того, що для Ейлера і Лагранжа принцип найменшої дії і найпростіша задача варіаційного числення являли собою одну й ту саму математичну проблему. Остроградський же зауважує, що в принципі найменшої дії змінні пов'язані законом живих сил і тому не є незалежними, на відміну від змінних звичайної варіаційної задачі. Звідси випливає також, що варіації змінних підпорядковуються певній умові й не можуть бути зовсім довільними. Тому Остроградський вважає формулювання принципу в Лагранжа і його висновки помилковими і дає власне формулювання: у випадку консервативної системи істинна траєкторія руху між двома точками має таку властивість, що перетворення рівнянь руху приводить до умови:

де U — потенційна функція,

Т — кінетична енергія системи.

І, навпаки, з мінімальності інтеграла можна одержати рівняння руху.

Принцип Остроградського, таким чином, відрізняється від принципу найменшої дії Лагранжа, в якому екстремуму досягає.

Питання про справедливість принципів Лагранжа й Гамільтон Остроградського викликало найжвавіше обговорення в математичній літературі. М. І. Тализін (1819-1869) і Ф. О. Слудський (1841-1891) показали, що обидва принципи — Лагранжа й Остроградського — однаково справедливі: "Вираження початку найменшої дії, які дали ці вчені, суть вираження двох різних загальних властивостей руху".