§2. Гравитационное поле точечной массы и шара

Нахождение аномалий силы тяжести, создаваемых телами известной формы, составляет прямую задачу гравиметрии. В основе аналитического способа решения прямой задачи лежит известный закон всемирного тяготения Ньютона, согласно которому притяжение единичной массы (весом 1 г) элементарной массой равно

. (V.4)

Положим, что точка с массой dm находится на расстоянии r от пункта наблюдения и на глубине h от поверхности Земли (рис. 26). Потенциал точки будет

, (V.5)

Рис. 26. К расчету поля силы тяжести

точечной массы

. (V.6)

Из определения силы тяжести (см. гл. 4, §3) ее вертикальная и горизонтальная составляющие определяются как первая и вторая производные по h и x:

; (V.7)

. (V.8)

; (V.9)

. (V.10)

Максимальное и минимальное значение g принимает при x = 0 и x = :

. (V.11)

. (V.12)

Графики функций g и V_xz приведены на рис. 26.

Притяжение шара. Многие геологические тела в земной коре могут быть аппроксимированы шаром (купола, дайки, подводные холмы и т.д.). Предположим, что шар массой М залегает на глубине h и на расстоянии r от точки наблюдения, расположенной на поверхности земли (рис. 27). Будем считать шар однородным по плотности. Поместим его под центром системы координат xoz (y = 0). Притяжение шара эквивалентно притяжению точки, помещенной в центр шара. Поэтому можно воспользоваться формулой, полученной для элементарной массы (V.9):

Рис. 27. К расчету поля силы

тяжести шара

Аналогично имеем для второй производной потенциала силы тяжести V_xz:

. (V.14)

В плане гравитирующим массам, имеющим форму, близкую к шару, соответствуют изометрические аномалии, максимум которых располагается над центром тяжести шара (рис. 27).

Рис. 28. К расчету поля силы тяжести вертикального стержня