§1. Планеты и законы их обращения

Солнечная система включает девять крупных планет, которые со своими 57 спутниками обращаются вокруг массивной звезды по эллиптическим орбитам (рис. 1). По своим размерам и массе планеты можно разделить на две группы – планеты земной группы, расположенные ближе к Солнцу, – Меркурий, Венера, Земля и Марс и планеты-гиганты – Юпитер, Сатурн, Уран и Нептун, находящиеся на значительно более удаленных орбитах от центральной звезды. Последняя из известных планет Плутон своей орбитой с радиусом около 6 млрд. км очерчивает границы Солнечной системы. Плутон не относится к планетам-гигантам, его масса почти в десять раз меньше массы Земли. Аномальные характеристики этой крошечной планеты позволяют рассматривать ее как бывший спутник Нептуна.

Кроме больших планет между орбитами Марса и Юпитера вращается более 2300 малых планет – астероидов, множество более мелких тел – метеоритов и метеорной пыли, а также несколько десятков тысяч комет, двигающихся по сильно вытянутым орбитам, некоторые из которых далеко выходят за границы Солнечной системы.

Все планеты и астероиды обращаются вокруг Солнца в направлении движения Земли – с запада на восток. Это так называемое прямое движение. Основные закономерности движения планет полностью определяются законами Кеплера. Рассмотрим эти законы и охарактеризуем основные элементы эллиптических орбит.

Согласно первому закону, все планеты обращаются вокруг Солнца по эллиптическим орбитам, в одном из фокусов которых находится Солнце. На рис. 2 показаны элементы планетных орбит с Солнцем (С) в фокусе. Линия АП называется линией апсид, крайние точки которой афелий (А) и перигелий (П) характеризуют наибольшее и наименьшее удаление от Солнца. Расстояние планет (Р) на орбите от Солнца (гели­оцентрическое расстояние) определяется радиусом-вектором r = СР. Отношение полуфокального расстояния (с) к большой полуоси (а) называется эксцентриситетом орбиты:

Рис. 1. Солнечная система

Рис. 2. Элементы планетной орбиты: АП – большая

полуось орбиты, ось апсид;

П – перигелий; А – афелий;

r – радиус вектор

. (I.1)

Если обозначить через q перигельное расстояние, а через Q афелийное расстояние, то их значения легко определить из выражений:

; (I.2)

. (I.3)

Тогда, определив большую полуось (а), мы найдем среднее годичное расстояние планеты до Солнца:

. (I.4)

Рис. 3. Площади, описываемые радиус-вектором планеты

Согласно второму закону Кеплера ра­диус-вектор планеты описывает площади, прямо пропорциональные промежуткам времени. Если обозначить через S₁ площадь перигелийного сектора (рис. 3), а через S₂ – площадь афелийного сектора, то их отношение будет пропорционально временам t₁ и t₂, за которые планета прошла соответствующие отрезки дуг орбиты:

. (I.5)

Отсюда следует, что секториальная скорость

(I.6)

величина постоянная.

Время, в течение которого планета сделает полный оборот по орбите, называется звездным, или сидерическим периодом Т (рис. 3). За полный оборот радиус-вектор планеты опишет площадь эллипса:

. (I.7)

Поэтому секториальная скорость

(I.8)

оказывается наибольшей в перигелии, а наименьшей – в афелии. Испо­льзуя второй закон, можно вычислить эксцентриситет земной орбиты по наибольшему и наименьшему суточному смещению Солнца по эклиптике, отражающему движение Земли (см. §4). Земля в перигелии пребывает в начале января (h_max = 61'), а в афелии в начале июля (h_max = 57'). По второму закону Кеплера скорость Земли в афелии и перигелии определяется из выражений:

; . (I.9)

Учитывая закон сохранения момента количества движения

(I.10)

и подставив сюда значения (I.9) с учетом выражений (I.2) и (I.3), найдем:

, откуда е = 0,0167.

Таким образом, орбита Земли лишь ненамного отличается от окружности.

Согласно третьему закону Кеплера, квадраты сидерических периодов обращения планет (Т₁² и Т₂²) прямо пропорциональны кубам их средних расстояний от Солнца (а₁³ и а₂³):

. (I.11)

Если одна из планет, к примеру, Земля, и период ее сидерического обращения Т₁ и расстояние от Солнца а₁ положить равным единице, т.е. а₁ = 1 а. е., Т₁ = 1 году, то выражение (I.11) принимает простой вид:

. (1.12)

Полученное выражение позволяет, по известным из наблюдений периодам обращения планет, других небесных тел вокруг Солнца, вычислять их средние гелиоцентрические расстояния.

Найденные эмпирически из наблюдательной астрономии законы Кеплера показали, что Солнечная система представляет собой механическую систему с центром, находящимся в солнечной массе.

Законы Кеплера послужили Ньютону основой для вывода своего знаменитого закона всемирного тяготения, который он сформулировал так: каждые две материальные частицы взаимно притягиваются с силой, пропорциональной их массам и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.

Математическая формулировка этого закона имеет вид:

, (I.13)

где M и m – взаимодействующие массы, r – расстояние между ними; G – гравитационная постоянная. В системе СИ G = 6,672·10^-11 м³·кг^-1·с^-2. Физический смысл гравитационной постоянной заключается в следующем: она характеризует силу притяжения двух масс весом в 1 кг каждая на расстоянии в 1 м. Величина G впервые была определена в 1798 г. английским физиком Кавендишем с помощью крутильных весов.

Закон Ньютона решил задачу о характере действия силы, управляющей движением планет. Это сила тяготения, создаваемая центральной массой Солнца. Именно эта сила не дает планетам разлететься, а сохраняет их в связной системе последовательных орбит, по которым как на привязи сотни миллионов лет кружатся большие и малые планеты.

Решая задачу движения двух тел под действием взаимного притяжения Ньютон аналитически определил законы движения планет в поле тяготения Солнца. Тем самым эмпирические законы Кеплера получили строгое математическое доказательство. Третий же закон был уточнен за счет введения масс планет и Солнца:

. (I.14)

Теперь с его помощью оказалось возможным вычислять массы небесных тел. Полагая в выражении (I.14) массы спутников планет m₁ и m₂ равными нулю, ввиду их малости в сравнении с массой планет (за исключением Луны) и приняв массу Земли M₂ = 1, соотношение (I.14) примет вид:

. (I.15)

Воспользуемся законом тяготения и определим массу Земли, полагая, что взаимодействуют две массы – Земли (М) и некоторого тела, лежащего на ее поверхности. Сила притяжения этого тела определяется законом Ньютона:

. (I.16)

Но одновременно из второго закона механики эта же сила равна произведению массы на ускорение:

, (I.17)

где g – ускорение силы тяжести; R – радиус Земли.

Приравнивая правые части выражений (I.16) и (I.17):

,

найдем выражение для определения массы Земли:

. (I.18)

Подставив в (I.18) известные значения G = 6,672·10^-11 м³·кг^-1·с^-2, g = 9,81 м/с², R = 6,371·10⁶ м, в итоге получим M_З = 5,97·10²⁴ кг, или в граммах: M₃ = 5,97·10²⁷ г. Такова масса Земли. Обращаем внимание на формулы (I.16), (I.17), (I.18) – их надо твердо помнить. В дальнейшем мы часто будем пользоваться ими как исходными для определения входящих в них параметров.

Теперь воспользуемся уточненным третьим законом Кеплера и найдем из выражения (I.15) массу Солнца. Для этого рассмотрим две системы тел – Солнце с Землей и Землю с Луной. В первой системе a₁ = 149,6·10⁶ км, Т₁ = 365,26 суток; во второй системе а₂ = 384,4·10³ км, Т₂ = 27,32 суток. Подставляя эти значения в формулу (I.15), находим массу Солнца в относительных единицах массы Земли М₀=328700 М_3. Полученный результат отличается от более точных расчетов, так как в сравнении с массой Земли массу Луны нельзя приравнивать нулю (масса Луны составляет ¹/₈₁ массы Земли). Зная массу Земли в абсолютных единицах (килограммах или граммах) и взяв более точное определение массы Солнца (М₀ = 333000 М₃), определим его абсолютную массу: М₀ = 333000·5,97·10²⁷ г = 1,98·10³³ г.

В настоящее время для более точного определения массы и фигуры планет и их спутников используются параметры орбиты искусственных спутников, запускаемых с Земли.

Дальше мы увидим, что закон тяготения Ньютона объясняет не только движение системы планет и других космических объектов в Солнечной системе, но и лежит в основе понимания процессов, происходящих внутри самих астрономических масс.