§ 5. Гравитационное поле плоского слоя

Рассмотрим очень важную задачу притяжения, создаваемого плоским слоем в точке А, расположенной на некоторой высоте z над ним (рис. 30). Пусть плотность слоя  = const. Вырежем в нем диск радиусом r и толщиной z. Найдем потенциал элемента массы dm этого диска V_А и притяжения g, которое он создает в точке А:

; ;

, (V.27)

где , т.е.

. (V.28)

Для определения притяжения всей массой диска нужно полученное выражение для элемента массы dm (V.28) проинтегрировать по всему объему диска:

. (V.29)

Возьмем интегралы по отдельности:

;

;

.

Отсюда g_слоя будет равно:

. (V.30)

Представим

. (V.31)

Подставим (V.31) в (V.30):

(V.32)

Проанализируем полученное выражение.

1) Если слой имеет бесконечно большие размеры в сравнении с расстоянием z до точки А, то , тогда

, (V.33)

где – толщина слоя.

2) Если точка А лежит на слое, т.е. z₁ = 0, z₂ = H, тогда

,

или

. (V.34)

Это уже известная нам редукция Буге. Следовательно, притяжение плоского слоя не зависит от высоты наблюдения z, а зависит от толщины слоя H.