§3. Потенциал силы тяжести

Сила тяжести g, определяемая по формуле (IV.5), является векторной величиной. Для решения многих задач гравиметрии удобно пользоваться скалярной величиной V, определяемой из выражения

. (IV.11)

Сила тяжести связана с величиной V соотношением

, (IV.12)

т. е. является проекцией по направлению действия силы. Функция, удовлетворяющая условиям (IV.12) и (IV.11), называется потенциалом силы тяжести.

Полный потенциал силы тяжести W, очевидно, будет представлять сумму скалярных величин V и U, характеризующих потенциалы притяжения и центробежной силы:

;

; (IV.13)

.

Выражение

W = const (IV.14)

определяет эквипотенциальную поверхность, или поверхность равного потенциала, в каждой точке которой величина силы тяжести направлена по нормали: .

Эта эквипотенциальная поверхность в условиях вращающейся Земли совпадает с уровнем моря и по форме близка к сфероиду вращения. Она носит название геоида. Отклонение поверхности геоида от поверхности сфероида будет характеризовать ундуляцию геоида.

Нетрудно показать, что вторые производные потенциала тяготения по осям координат для точек, расположенных вне масс, равны нулю, т.е.

²V = 0, (IV.15)

где , а потенциала силы тяжести – сумме вторых производных потенциала центробежной силы:

² W = 2². (IV.16)

Уравнение (IV.15) называется уравнением Лапласа.

Для точек, расположенных внутри сферических масс, имеем

.

Дифференцируя дважды, получим:

;

²V = -4G; (IV.17)

²W = -4G+2²

Уравнение (IV.17) называется уравнением Пуассона. Уравнение Лапласа представляет собой частный случай уравнения Пуассона, когда  = 0.

Функция, удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Уравнение Пуассона показывает, что вторые производные потенциала тяготения при прохождении притягиваемой точки меняются скачком на величину плотности .