13. Дифференциальное уравнение нестационарного переноса.

Необходимо подчеркнуть, что все выведенные уравнения пере­носа являются строгими только для стационарного режима. При нестационарном процессе, когда интенсиалы претерпевают изменения, внутри системы наряду с переносом происходит также накопление или убыль вещества. В этих условиях важную роль приобретают емкости, причем для определения свойств системы требуется вывести особые уравнения нестационарного переноса.

В общем случае система располагает n степенями свободы, а интенсиалы изменяются вдоль всех трех координат х , у и z одновременно; такое поле интенсиалов именуется трехмерным. Для вывода простейших уравнений нестационарного переноса используются второе и третье начала ОТ, а также третье частное уравнение пятого начала. В системе мысленно вы­деляется элементарный объем dV . Количество данного веще­ства, вошедшего в этот объем за время dt , сопоставляется с количеством вещества, вышедшего из этого объема за то же время. Разница между этими количествами идет на изменение интенсиалов рассматриваемого объема. В результате полу­чается дифференциальное уравнение нестационарного переноса вещества [12, с.303; 14, с.348; 16, с.41; 17, с.104; 18, с.414; 21, с.195]. Здесь для простоты мы ограничимся случаем, когда система располагает всего двумя степенями свободы (n = 2), а ее интенсиалы изменяются только вдоль одной координаты х (одномерное поле интенсиалов). В этих условиях дифферен­циальное уравнение нестационарного переноса приобретает вид

U₁ = L₁₁Z₁ + L₁₂Z₂ (157)

U₂ = L₂₁Z₁ + L₂₂Z₂

где

U₁ = _P11(P₁/t) ; U₂ = _P22(P₂/t) ;

Z₁ = ²P₁/x² ; Z₂ = ²P₂/x² ;

_P11 = K_P11/m ; _P22 = K_P22/m ;

 - плотность вещества системы, кг/м³;  - удельная массо­вая емкость системы по отношению к данному веществу; m - масса системы, кг.

Для гипотетического частного случая, когда n = 1 и поле интенсиала одномерное, находим

U = LZ

или

P/t = D(²P/x²) (158)

где D - диффузивность:

D = L/() (159)

Из выражения (158) в частном случае получаются извест­ные дифференциальные уравнения теплопроводности Фурье, второго закона Фика и т.д. Методы решения дифференци­альных уравнений типа (157) разрабатывались Н.А. Буткевичюсом [6] [ТРП, стр.160-161].