2. Вывод обобщенного дифференциального уравнения переноса.

Из равенства (97) и комментариев к нему видно, что интенсив­ность процесса переноса, а значит, и количество перенесенного вещества dE должны зависеть от разности интенсиалов dΡ . Следовательно, в уравнении переноса в отличие от уравнения состояния экстенсор dE должен быть выражен через разность интенсиалов dP . Чтобы найти соответствующую функциональ­ную зависимость, необходимо обратиться к третьему началу ОТ.

Согласно третьему началу, имеет место однозначная связь между интенсиалами и экстенсорами (см. уравнение (52)). Отсюда прямо следует, что экстенсоры можно выразить через интенсиалы, для этого из каждой строчки уравнения (52) находится соответствующий экстенсор и подставляется в остальные строчки. В результате выполнения указанной процедуры получается совокупность следующих так называе­мых обращенных зависимостей:

E_k = f_k(Р₁ ; Р₂ ; ... ; Р_n) (98)

где k = 1, 2, ... , n ; f_k - некие новые неизвестные функции.

В обращенном уравнении (98) роль аргументов играют интенсиалы, а роль функций - экстенсоры. Однако отсюда вовсе не должно вытекать, что интенсиалы, подобно экстенсорам, являются первичными величинами и их можно именовать параметрами состояния. В действительности, как мы видели, первичность и вторичность тех или иных характеристик опреде­ляются из других соображений.

По-прежнему для простоты ограничимся системой с двумя степенями свободы. В этом случае уравнение (98) приобретает вид (n = 2)

E₁ = f₁(Р₁ ; Р₂ ) (99)

E₂ = f₂(Р₁ ; Р₂ )

Путем дифференцирования находим

dE₁ = K_P11dР₁ + K_P12dР₂ (100)

dE₂ = K_P21dР₁ + K_P22dР₂

где

K_P11 = (Е₁/Р₁)_Р2 ; K_P22 = (Е₂/Р₂)_Р1 ; (101)

K_P12 = (Е₁/Р₂)_Р1 ; K_P21 = (Е₂/Р₁)_Р2 . (102)

Индекс, стоящий внизу скобки, указывает на интенсиал, ко­торый при дифференцировании сохраняется постоянным. В наиболее простом частном случае, когда n = 1, получаем

Е = f(Р) (103)

dЕ = КdР (104)

где

К = 1/А = dЕ/dР (105)

Выражения (100)-(102) несколько напоминают уравнения состояния (54)-(56). Вместе с тем между ними имеется и существенная разница.

Прежде всего необходимо отметить, что в новое уравнение (100) входят емкости К_р , найденные при постоянных значениях интенсиалов; это обстоятельство подчеркивается индексом Р . В уравнениях состояния, где емкости К и структуры А опреде­ляются при постоянных экстенсорах, соответствующий индекс Ε при них опущен.

Как и прежде, емкости К_р обратны характеристикам А_р , которые тоже берутся при постоянных Р, то есть

А_р = 1/К_р (106)

Характеристики К_р и А_р в принципе отличны от характеристик К и А . Неучет этого обстоятельства может привести к серьезным ошибкам, особенно если система находится вблизи нуля интен­сиалов. Разницы между указанными характеристиками нет только в том гипотетическом частном случае, когда система располагает всего одной степенью свободы (см. формулы (60) и (105)).

Экстенсоры dE в уравнениях (54) и (100) имеют один и тот же смысл - они характеризуют количества переданных веществ. Что касается разностей dP , то в первом случае они определяют изменение состояния системы, а во втором - те перепады или напоры, которые служат причиной переноса веществ. Естественно поэтому, что разности dP в уравнениях (54) и (100) не равны между собой.

Дифференциальное уравнение (100) связывает количества перенесенных веществ с имеющимися разностями интенсиалов, следовательно, его допустимо трактовать как некое обобщен­ное дифференциальное уравнение переноса. Согласно этому уравнению, количества перенесенных веществ dE пропорцио­нальны разностям интенсиалов dP , причем коэффициентами пропорциональности служат емкости К_р , найденные при постоянных значениях интенсиалов. Эти емкости именуются обобщенными проводимостями [17, с.37; 18, с.142; 21, с.64]. Из выражений (100), (101) и (102) видно, что существуют два типа обобщенных проводимостей: основные, индексы которых составлены из одинаковых цифр, и перекрестные, их индексы содержат разные цифры. В частном случае из равенств (100) и (104) могут быть получены все известные уравнения переноса [ТРП, стр.139-141].