Аксиомы

Точка, линия, угол – а, радиус кривизны -R

Рис. 8 Аксиоматические элементы, точка, линия, угол – а, радиус кривизны –R и фигуры, полученные наложением, пересечением и вращением аксиоматических элементов.

Количественные характеристики объектов отражаются числовыми данными, представленными в какой либо системе счисления. Система счисления определяет форму записи количественной информации. Системы счисления бывают позиционными и не позиционными как римская система. В позиционной системе значение цифрового знака зависит от его положения в записи числа. Запись чисел ведется по разрядной сетке. Наиболее известна десятичная система с ее разрядами, единицы, десятки, сотни, тысячи и так далее. Система счисления с разрядной сеткой может быть двоичной, троичной, четверичной, восьмеричной, десятичной, шестнадцатеричной и с каким угодно основанием. Название системы счисления определяется ее основанием. Двоичная – 2, троичная – 3, десятичная – 10, шестнадцатеричная – 16 и т.д.

Во всех системах законы математики и результаты вычислений неизменны, меняется только вид записи чисел.

Согласно правилам построения разрядной сетки в первом разряде значение стоящей в нем цифры умножается на основание в нулевой степени, во втором разряде на основание в первой степени (это будет само основание), в третьем разряде на основание во второй степени и так далее. В таблице приведены эти цифры для трех разрядов нескольких систем счисления. Поскольку любое число в нулевой степени по определению равно единице, то это разряд единиц во всех системах. Однако в этом разряде может стоять только 0 или 1 в двоичной, 0,1,2 – в троичной, любая цифра от 0 до 9 в десятичной системе и от 0 до 15 (F) в шестнадцатеричной. Во втором разряде имеем те же числа как в 1-ом разряде умноженные на основание в первой степени. Это будет 2 в двоичной, 3 в троичной, 8 в восьмеричной, 10 в десятичной и 16 в шестнадцатеричной. В третьем разряде тоже умножается на вторую степень основания (см. таблицу 1).

Т А Б Л И Ц А 1

Отметим, что в таблице 1 мы отмечали умножение звездочкой, а возведение в степень стрелкой вверх. В последнем столбце дана запись числа 21 в каждой системе. Причем она развернута начиная с троичной системы. Развернем для примера число 234 в привычной нам десятичной системе.

234= 2*10^2+3*10^1+4*10^0 = 2*100 + 3*10 + 4*1 = 200+30+4 = 234;

Развернем теперь двоичное число 10101 и убедимся, что это 21.

10101=1*2^4+0*2^3+1*2^2+0*2^1+1*2^0= 1*16+0*8+1*4+0*2+1*1=16+4+1=21

После этих примеров посмотрите запись числа 21 во всех системах, и станет понятно, как записать любое число в любой системе, подбирая цифры в каждом разряде. Конечно, для преобразования чисел из одной системы в другую есть более удобные алгоритмы. Для нас важно понять принципы этого преобразования.

На ЭВМ используется двоичная система, которая более удобна для вычислений в электронных схемах. Требуется всего один сигнал для представления 1, а цифру 0 можно представить отсутствием сигнала. В привычной нам, десятичной системе требуется девять сигналов для представления цифр от 1 до 9, что снижает надежность ЭВМ, работающей в десятичной системе, и усложняет вычисления, с таким большим набором сигналов.

Одно из величайших достижений человека 20-го века состоит в том, что он сумел описать весь многообразный, красочный, шумящий и быстроменяющийся мир с помощью простейшего алфавита из 2-х символов, 0 и 1 в двоичной системе. В этой системе на ЭВМ обрабатываются тексты, изображения, звуки, создаются красочные виртуальные миры, Решаются разнообразные задачи и проблемы Человечества.

Развитие математики часто определяется потребностями других наук и технологий в количественном, кратком и четком описании. Так потребности физики заставили Ньютона, а позднее Лейбница разработать дифференциальное и интегральное исчисление, описанное ниже. Теперь оно получило дальнейшее развитие и используется во всех естественных и гуманитарных науках. Появление ЭВМ вызвало быстрое развитие новых разделов математики, таких как дискретная математика, алгоритмизация, программирование, теория автоматов и других. Решение задач в математике сводится к преобразованию информации из одной формы представления в другую, по строго определенным правилам и алгоритмам. С развитием ЭВМ средства представления и преобразования информации получили большое развитие. ЭВМ решает многие задачи и обрабатывает информацию в миллионы раз быстрее, чем человек. Одна из проблем завтрашнего дня состоит в том, что ЭВМ становится умнее человека и может управлять им, что смертельно опасно для Человечества.

Дифференциальная форма формул Ньютона

Мгновенные значения. V =lim S /t ( при t0) = dS/dt;

a = dV/dt = dS/dt; F = m *dV/dt

Интегральные формулы для пути –S, скорости-V, импульса –P, работы -A.

S =V dt; V =a dt; P =F dt; A =F ds;

Формулы для дифференцирования и интегрирования.

Производная суммы разности двух функций (f1(x) +-f2(x))’ = f1’(x) +-f2’(x)

• произведения (f1(x) * f2(x))’ = f1’(x) * f2(x) + f1(x) * f2’(x))

• деления (f1(x) / f2(x))’ = (f1’(x) * f2(x) - f1(x) * f2’(x))/ f2(x)

Интеграл суммы и разности двух функций f1(x) +-f2(x) dx =

=f1(x) dx+-f2(x) dx +c.Интеграл произведения и частного двух функций не равен произведению или частному их интегралов. Это следует из вышеприведенных формул для производной и самого определения интеграла и производной, согласно которому:

df(x) dx = f(x) Дифференциал интеграла равен под интегральной функции или операции дифференцирования и интегрирования взаимно сокращаются,

df(x) = f(x) +c Здесь тоже взаимно сокращение, с точностью до константы с.

Ниже приведена таблица производных и интегралов часто используемых функций.

Таблица 2 Часто используемые в физике производные и интегралы.

Дальнейшее развитие всех наук ведет к более полному применению в них математических методов и ЭВМ, что в свою очередь приводит к появлению новых разделов математики и развитию вычислительной техники.