Спектральные представления электромагнитного поля в горизонтально-слоистой среде

Поместим начало декартовой системы координат на поверхность земли, ось z направим вертикально вниз. В пределах дан­ного пункта будем полагать, что земля состоит из N однородных слоев с удельными электропроводностями σ_j и толщинами d_j (j = 1, 2, 3, . . . , N; d_N = ∞). При z = 0 земля граничит с непроводящей атмосферой (σ₀ = 0). Поле в модели возбуждается сторонними электрическими токами, распределенными с плотностью в области Q атмосферы (рис. 9). Магнитная проницаемость повсеместно равна μ_о = 4π·10^-7 Гн/м. Зависимость поля от времени выражена множителем е^-iωt. Поле меняется настолько медленно, что токами смещения можно пренебречь, т. е. рассматривается квазистационарная модель поля.

Р ис. 9. Модель горизонтально-слоистой земли, возбуждаемая произвольной системой магнитосферно – ионосферных токов

Вне области, занятой сторонними токами, т.е. в атмосфере и внутри j-x слоев земли магнитные и электрические поля удовлетворяют уравнениям Гельмгольца:

, , (3.1)

где j = 0, 1, 2, ….,N, .

На границах раздела слоев непрерывны все компоненты магнитного поля и тангенциальные компоненты электрического поля :

H_{x, y, z} |_{z = zj-0} = H_{x, y, z} | _{z = zj+0}; (3.2)

E_{x, y} | _{z = zj-0} = E_{x, y} | _{z = zj+0}; (3.3)

где j = 0, 1, 2, …, N-1; z_j = ; z₀ = 0.

Вертикальный компонент электрического поля E_z на границах раздела слоев терпит разрыв, определяемый условиями

σ_jE_z| _{z = zj-0} = σ_j+1E_z| _{z = zj+0}, (3.4)

j = 0, 1, 2, …., N-1.

Кроме того, электрические и магнитные поля удовлетворяют уравнениям:

div = 0 и div = 0.

Откуда вытекает непрерывность производных по z для вертикальных компонент электрического и магнитного полей на границах слоев:

|_{z = zj-0} = |_{z = zj+0}. (3.5)

|_{z = zj-0} = |_{z = zj+0}.

При z → ∞ поля и стремятся к нулю.

Для исследования электромагнитных полей в горизонтально-слоистой модели удобно пользоваться их спектральными представлениями.

Представим магнитные и электрические поля в виде интегралов Фурье:

,

, (3.6)

где k_x, k_y - пространственные частоты по осям x и y; , - пространственные спектры соответственно магнитного и электрического полей, связанные с и обратным преобразованием Фурье:

, (3.7)

Пространственные спектры удовлетворяют в атмосфере и каждом слое земли одномерным уравнениям Гельмгольца:

, , (3.8a)

где j = 0, 1, 2, …., N, штрих означает дифференцирование по z; n_j = , причем принято выбирать то значение корня, при котором Re n_j > 0. (3.8б)

Спектры всех компонент магнитного поля и горизонтальных компонент электрического поля непрерывны на границах раздела сред:

h_{x, y, z} |_{z = zj-0} = h_{x, y, z} |_{z = zj-0}; (3.9a)

e_{x, y} |_{z = zj-0} = e_{x, y} |_{z = zj-0}; (3.9б)

Спектры вертикального компонента поля на границе раздела сред удовлетворяют условиям:

σ_je_x |_{z = zj-0} = σ_j+1e_x |_{z = zj-0}; (3.9в)

Производные по z для вертикальных компонент магнитного и электрического полей непрерывны на границе раздела сред

|_{z = zj-0} = |_{z = zj-0}; (3.9г)

|_{z = zj-0} = |_{z = zj-0}; (3.9в)

На бесконечности z → ∞ спектры и стремятся к нулю.