Теоретические кривые электрических зондирований

Для трех основных типов измерительных установок, применяемых в методах ВЭЗ и ДЗ (симметричной четырехточечной, трехточечной и дипольно-азимутальной), теоретические выражения для кривых ρ_к(r) над одномерными разрезами имеют один и тот же вид, описываемый формулой

= .

В данной формуле левая часть получается с помощью преобразования Ханкеля первого порядка от приведенного импедансного отношения слоистого разреза R⁰_N(n₀)

Рассмотрим как определяются эти преобразования.

Пусть имеем f(n₀) – произвольную абсолютно интегрируемую на вещественной полуоси 0 ≤ n₀ < ∞ функцию переменной n₀, т.е.

< ∞, где n₀ = , k_x, k_y – пространственные частоты

Тогда существует следующая пара взаимно однозначных интегральных преобразований, называемых преобразованиями Ханкеля или Фурье – Бесселя (порядка m):

χ_f(r) = f(n₀) = ,

где m = 0, 1, 2……, J_m – функции Бесселя порядка m.

Выполним над левой и правой частями формулы

= обратное преобразование Ханкеля, получим: = .

Таким образом, существует взаимно-однозначная связь, описываемая прямым и обратным преобразованиями Ханкеля, между функцией ρ_к(r) (0 < r < ∞) и приведенным импедансным отношением с параметрами геоэлектрического разреза.

Задаваясь различными параметрами одномерных геоэлектрических моделей, можно рассчитать функцию

= cth(n₀d₁ + arcth( cth(n₀d₂ + arcth( cth(n₀d₃ +…..

arcth )….))),

а затем от нее с помощью преобразования Ханкеля перейти к кривой электрических зондирований ρ_к(r) = ρ₁r² (*)

Эта процедура реализуется численно на ЭВМ и воплощена в настоящее время в соответствующих программах.

При численных расчетах в формуле (*) удобно перейти от переменной интегрирования n₀, имеющей размерность обратной длины, к безразмерной переменной β: β = n₀r, тогда n₀ = , dn₀ = .

= = cth(β + arcth( cth(β + arcth( cth(β +… ..arcth )….))).

Подставляя значения n₀ и = в выражение (*), получаем ρ_к(r) = ρ₁ . (**)

Функцию можно выразить через безразмерные параметры. В самом деле, обозначим

= ; ν₂ = ; μ₂ = ; ν₃ = ; μ₃ = ; и так далее. Тогда выражение для записывается следующим образом:

= cth( + arcth(μ₂cth(β + arcth( cth(β +… ..arcth )….))) = f(β, , ν₂, μ₂, ν₃, μ₃, … μ_N). Подставляя в (**), окончательно находим

ρ_к( )/ρ₁ = f(β, , ν₂, μ₂, ν₃, μ₃, … μ_N) .

Получили, что теоретические кривые зондирования зависят только от отношений удельных электрических сопротивлений и толщин второго и последующего слоев к соответствующим параметрам первого слоя. Это свойство кривых ρ_к используется для упрощения их расчетов.