Плоские электромагнитные волны в горизонтально-слоистой среде

Рассмотрим модель, в которой проводящая земля при z = 0 граничит с одно­родной непроводящей атмосферой. Земля состоит из N однородных горизонтальных слоев с параметрами σ₁, d₁, σ₂, d₂, . . . , σ_N-1, d_N-1, σ_N (где σ_j, j = 1, 2, . . . , N, - удельные электропроводности).

Монохроматическое квазистационарное элек­тромагнитное поле в модели возбуждается вертикально падающей плоской волной.

Магнитная постоянная повсеместно равна μ₀ = 4π·10^-7 Гн/м.

Векторы электрического и магнитного полей плоской электромагнитной волны в пределах каждого однородного слоя удовлетворяют одномерным уравнениям Гельмгольца:

(1.1а)

(1.1б)

при z_j-1+0 ≤ z ≤ z_j-0

где k_j = - волновое число j - го слоя; z_j = - глубина залегания подошвы j - го слоя, j = 1, 2, . . . , N.

Решения этих уравнений записываются в виде:

(z) = + ; (1.2a)

(z) = + ; (1.2б)

где , , , (j = 1, 2, . . . , N) - некоторые по­стоянные векторы.

Векторы электромагнитного поля в плоской волне всегда лежат в горизонтальной плоскости. Это означает, что векторы и имеют отличные от нуля лишь х - и y – компоненты, т.е.

= (E_x, Е_у, 0), = (Н_x, H_y, 0).

Горизонтальные компоненты электрического поля в j - м слое в соответствии с (1.2б) записываются:

Е_х(z) = + ; (1.3а)

Е_y(z) = + ; (1.3б)

при z_j-1 + 0 ≤ z ≤ z_j-0.

Используя второе уравнение Максвелла rot = i ωμ₀ для плоской электромагнитной волны получим H_x = - ; (1.6a)

H_y = - ; (1.6б)

Подставляя (1.3б) в (1.6а) и (1.3а) в (1.6б), получим

H_x(z) = - ; (1.7a)

H_y(z) = ; (1.7б)

при z_j-1 + 0 < z < z_j - 0.

Таким образом, магнитное поле в каждом слое может быть выражено с помощью тех же констант , , что и электрическое поле.

Важное значение в модели Тихонова - Каньяра имеет понятие магнитотеллурического импеданса Z. Опреде­лим два типа импеданса Z_xy и Z_yx в соответствии с формулами:

Z_xy(z) = ; (1.8a)

Z_yx(z) = ; (1.8б)

Найдем связь магнитотеллурического импеданса с параметрами геоэлектрического разреза. Для этого подставим (1.3а) и (1.7б) в (1.8а):

Z_xy(z) = при z_j-1+0 ≤ z ≤ z_j-0. (1.9)

Поделим числитель и знамена­тель (1.9) на :

Z_xy(z) = . (1.10)

Введем обозначение:

q_j = -ln ,

Тогда формула (1.10) примет вид:

Z_xy(z) = = (1.11)

при z_j-1+0 ≤ z ≤ z_j-0.

Неизвестные постоянные в (1.11) определяются исходя из граничных условий для векторов электромагнитного поля на границах раздела слоев.

На горизонтальных плоскостях, разделяющих однородные слои, горизонтальные составляющие век­торов непрерывны. Следовательно, непрерывен и импеданс

Z_xy(z_j-0) = Z_xy(z_j+0). (1.12)

Подставляя в левую часть (1.12) выражение (1.11), получим

= Z_xy(z_j+0).

Откуда

q_j = ik_jz_j – arcth( ). (1.13)

Следовательно, подставляя найденное значение q_j в (1.11) и полагая в последней z = z_j-1+0. получаем

Z_xy(z_j-1+0) = - . (1.14)

Формула (1.14) описывает рекуррентные соотношения, связывающие магнитотеллурические импедансы на кровле (j + 1) - го и j - го пластов. Эти соотношения могут быть под­робно переписаны следующим образом.

При j = 1 Z_xy(+0) = - . (1.15a)

При j = 2 Z_xy(z₁+0) = - . (1.15б)

…………………………………………………………….

При j = N-2

Z_xy(z_N-3+0) = - . (1.15в)

При j = N-1

Z_xy(z_N-2+0) = - . (1.15г)

Для основания разреза (в слое с удельной электропроводностью σ_N) в формулах (1.3а) и (1.3б) сохра­няются лишь затухающие с ростом z экспоненты:

E_x(z) = , (1.16)

E_y(z) = при z_N-1+0 ≤ z < +∞,

поскольку Im k_N > 0. Отсюда ввиду (1.6а) и (1.6б)

H_x(z) = - ,

H_y(z) = - . (1.17)

Следовательно, импедансы Z_xy и Z_yx в N-м слое:

Z_xy(z) = = ; (1.18а)

Z_yx(z) = - = ; (1.18б)

при z_N-1+0 ≤ z < +∞,

В частности, при z = z_N-1+0

Z_xy(z_N-1+0) = . (1.19)

Подставляя (1.19) в (1.15г), затем (1.15г) в (1.15в) и так далее, получаем следующую формулу для расчета импеданса на земной поверхности:

Z_xy(+0) = R_N. (1.20)

где R_N - приведенный импеданс слоистого разреза

R_N = cth(-ik₁d₁ + arcth( cth(-ik₂d₂ + arcth( cth(-ik₃d₃ + ….+ arcth ……))))). (1.21a)

Отметим, что, так же как и для приведенного импедансного от­ношения R⁰_N можно записать эквивалентную формулу для приведенного импеданса

R_N = th(-ik₁d₁ + arth( th(-ik₂d₂ + arth( th(-ik₃d₃ + ….+ arth ……))))). (1.21б)

Аналогичные вычисления показывают, что

Z_yx(+0) = R_N. (1.22)

Таким образом, в модели Тихонова—Каньяра оба магнитотеллурических импеданса на поверхности земли равны между собой:

Z_yx = Z_xy = Z.

Импеданс Z, определяемый на поверхности земли, будем называть входным импедансом горизонтально-слоистого разреза, или им­педансом Тихонова - Каньяра. Входной импеданс вычисляется по отношению измеренных на поверхности земли взаимно ортогональных составляющих электрического и магнитного полей:

Z = = - . (1.23)

Входной импеданс зависит только от параметров геоэлектрического разреза:

Z_yx = R_N , (1.24)

где R_N определяется формулами (1.21а) или (1.21б).

Одной из основных задач магнитотеллурических методов является измерение импеданса Тихонова - Каньяра Z и восстановле­ние одномерного нормального распределения электропроводности σ_n(z) по параметрической зависимости Z от частоты ω (где σ_n(z) = 1/ρ_n(z)).