Низкочастотная асимптотика импеданса для разрезов с хорошо проводящим основанием

Рассмотрим двуслойный разрез с параметрами σ₁, d_l, σ₂ = ∞. Вы­ражение для импеданса запишем с помощью (1.24) и (1.21б):

Z = R₂ = th(-ik₁d₁ + arth ). (1.32)

Очевидно, что в данном случае

arth = arth = = → 0 при σ₂ → ∞.

Следовательно, формула (1.32) принимает вид

Z = th(-ik₁d₁).

Устремляя в последнем выражении ω → 0 и учитывая arth ~ x при x → 0, находим

Z (-ik₁d₁) = iωμ₀d₁, (1.33)

т. е. импеданс не зависит от удельного электрического сопротивления первого слоя, а определяется только его мощностью.

Для трехслойного разреза импеданс

Z = th(-ik₁d₁ + arth( th(-ik₂d₂))), (1.34)

где учтено, что σ₃ = ∞.

Низкочастотная асимптотика выражения (1.34) ввиду arth х ~ x при x → 0 имеет вид

Z th(-ik₁d₁+arth(-ik₁d₂)) th(-ik₁d₁-ik₁d₂) = = - . (1.35)

Откуда

Z - ( ik₁(d₁ +d₂)) = -iωμ₀D, (1.35a)

где D = d₁ + d₂ - глубина залегания кровли идеально проводя­щего третьего слоя.

Обобщая полученный результат по методу математической ин­дукции на N - слойный разрез, находим

Z + -iωμ₀D, (1.36)

где D = d₁ + d₂ + . . . + d_N-1 - глубина залегания кровли иде­ального проводника.

Таким образом, в данной модели импеданс на низких частотах не зависит от удельных электрических сопротивлений слоев, а определяется лишь глубиной залегания хорошо проводящего основания разреза.