Асимптоты теоретических кривых

Важное значение в теории интерпретации данных электрических зондирований имеет анализ асимптотического поведения кривых зондирований при больших и малых r.

Для построения асимптот теоретических кривых ρ_к необходимо найти низкочастотную и высокочастотную асимптотики приведенного импедансного отношения .

Рассматривают два случая:

а) в основании одномерного разреза лежит пласт конечного сопротивления (0 < ρ_N < ∞);

б) в основании разреза лежит пласт-изолятор (ρ_N = ∞).

Случай 0 < ρ_N < ∞. В случае двуслойного геоэлектрического разреза.

= cth(n₀d₁ + arcth ). Пусть n₀ → 0, тогда получим

= cth(arcth ) = .

В случае трехслойного разреза

= cth(n₀d₁ + arcth( cth(n₀d₂ + arcth( ))).

Полагая в n₀ → ∞, находим

= cth arcth( cth arcth( )) = = .

С помощью метода математической индукции полученные соотношения можно распространить на N - слойный разрез:

~ при n₀ → 0.

Случай ρ_N = ∞. Рассмотрим двуслойный разрез.

Так как arcth x = = , то

= = = 0.

Следовательно, в этом случае

= cth(n₀d₁).

Для гиперболических функций известна следующая асимптотика при x → 0: сth x ~ 1/x.

Тогда получаем = cth(n₀d₁) ~ 1/n₀d₁ = 1/n₀ρ₁S₁,

где S₁ = d₁/ρ₁ – продольная проводимость первого слоя.

Для трехслойного разреза имеем

= cth(n₀d₁ + arcth( cth n₀d₂)).

С учетом асимптотик при n₀ → 0 имеем:

= cth(n₀d₁ + arcth(ρ₂/n₀ρ₁d₂)) ~

~ cth(n₀ρ₁d₁/ρ₁ + n₀ρ₁d₂/ρ₂) ~ 1/n₀ρ₁(S₁ + S₂) = 1/n₀ρ₁S,

где S = S₁ + S₂ = d₁/ρ₁ + d₂/ρ₂ - суммарная продольная проводимость разреза (поскольку только первые два слоя и являются проводящими).

Этот результат при n₀ → 0 обобщается на N - слойный разрез:

= 1/n₀ρ₁S,

где S= = - суммарная продольная проводимость разреза.

Асимптотика теоретических кривых в случае конечного сопротивления основания (0 < ρ_N < ∞).

П ри больших r кривая кажущихся сопротивлений асимптотически приближается к горизонтальной прямой, отсекающей на оси абсцисс удельное электрическое сопротивление основания разреза ρ_N.

Асимптоты теоретических кривых в случае, когда в основании разреза лежит пласт-изолятор (p_N = ∞).

Абсцисса точки пересечения наклонной асимптоты с горизонтальной осью численно равна значению суммарной продольной проводимости S (в См). Указанная наклонная асимптота получила название линии S.

Найдем асимптотику теоретических кривых при r → 0. Очевидно, что для любого одномерного разреза

= cth(n₀d₀ + ……) ~ 1 при n₀ → ∞

поскольку

= = = 1.

ρ_к(r) = -ρ₁r² ( ) = ρ₁. (32)

Таким образом, при изображении кривой зондирования ρ_к на билогарифмическом бланке эта кривая имеет левую горизонтальную асимптоту, отсекающую на вертикальной оси величину ρ₁.

Полученный результат допускает простое физическое истолкование. В самом деле, при маленьких r электрическое поле проникает лишь в первый пласт, следовательно, при малых r слоистый разрез можно заменить однородным полупространством с сопротивлением ρ = ρ₁ для которого кажущиеся сопротивления совпадают с истинными: