1. Спектральный метод решения прямой задачи зс

Согласно общей теории электромагнитного поля переходные процессы, возникающие в проводящем полупространстве Земли при ступенчатом изменении тока в источнике, удов­летворяют квазистационарному приближению, т.е. решение прямой задачи ЗС может быть выполнено путем интегрирования уравнений теплопроводности. Для напряженностей электрического и магнитного полей эти уравнения записываются в виде:

;

Основной характеристикой источника в ЗС является его момент I: произведение силы тока J на длину заземленной линии АВ, т.е. I = J·AB, или эффективную площадь незаземленного контура Q - произведение площади одного витка контура q на количество витков в контуре n: Q = n·q. Таким образом I = J·Q. Во времени момент изменяется по ступенчатому закону, для описания которого используется функция Хэвисайда:

σ(t) = (1)

С помощью этой функции момент запишется в виде: I(t) = I₀σ(t) (*), где I₀ - ампли­тудное значение момента.

Пусть источником первичного поля служит незаземленная петля, момент которой равен I. В поле такой петли на практике измеряются азимутальная компонента электриче­ского поля Е_φ и вертикальная компонента напряженности магнитного поля H_z. Процесс распространения низкочастотного электромагнитного поля в Земле удовлетворяет таким же дифференциальным уравнениям, каким описывается процесс прохождения перемен­ного во времени электрического сигнала через так называемые линейные системы, например, через электрические фильтры. Если U(t) - входной сигнал, поступающий на вход системы, V(t) - сигнал на ее выходе, К(ω) - частотная характеристика системы, то спектры входного u(ω) и выходного υ(ω) сигналов связаны соотношением: u(ω) = К (ω)·v(ω) - так называемое преобразование в частотной области. Следовательно, сигнал на выходе V(t) можно рассчитать, пользуясь уравнением:

V(t) = = (2)

С учетом (2) для прямой задачи ЗС справедлива такая схема вычислений: входным сигналом является момент источника первичного поля I; земля характеризуется некоторой частотной характеристикой K₃(ω); выходными сигналами являются азимутальная компонента электрического поля E_φ(t) или вертикальная компонента напряженности магнитного поля H_z(t). В качестве частотных характеристик при расчете азимутальной ком­поненты электрического поля E_φ(t) и вертикальной компоненты напряженности магнитно­го поля H_z(t) рассматриваются приведенные к единице момента соответствующие компо­ненты источника, в котором ток изменяется по гармоническому закону: К_е(ω) = Е_φ(ω)/I, K_h(ω) = H_z(ω)/I.

Спектральная плотность функции Хэвисайда определяется из соотноше­ния:

S_σ = = - . Следовательно, спектр входного сигнала будет удовлетво­рять уравнению: S_I = = - .

Тогда искомые компоненты E_φ(t) и H_z(t) можно вычислить, пользуясь соотношением вида:

E_φ(t) = = - ,

H_z(t) = = - . (3)