Решение обратной задачи методом подбора на эвм

В основе большинства автоматизированных методов интерпретации лежит та же идея подбора, которая является основой палеточного способа. При этом, однако, ЭВМ, как правило, не хранит в своей памяти различные кривые зондирования (т. е. не располагает альбомом палеток, как это было при ручной интерпретации), а непосредственно рассчитывает все необходимые по ходу подбора теоретические кривые по специальным программам.

Обозначим, например, через = (ρ_l, d_l, ρ₂, d₂, ρ₃, d₃. . . , ρ_N) какую-либо теоретическую кривую, отвечающую N - слойному разрезу с толщинами d_l, d₂, d₃. . . , d_N-1 и удельными электрическими сопротивлениями ρ_l, ρ₂, ρ₃, . . . , ρ_N. Обозначим также через ρ_к соответствующую полевую кривую, которую необходимо проинтерпретировать (т. е. определить параметры разреза, над которым она получена). Пусть далее ρ_кj - обозначает величину ρ_к в j-й отсчетной точке на полевой кривой (т. е. при каком-то j-м значении разноса г), а - соответствующее значение теоретической кривой в j-й отсчетной точке. Тогда задача подбора искомых параметров разреза может быть сведена к минимизации (по параметрам ρ_l, d_l, ρ₂, d₂, ρ₃, d₃. . . , ρ_N подбираемого разреза) функции I, равной квадратному корню из суммы квадратов разностей ρ_кj и :

I(ρ_l, d_l, ρ₂, d₂, ρ₃, d₃. . . , ρ_N) = I( ) = = min,

где М - общее число отсчетных точек; = (ρ_l, d_l, ρ₂, d₂, ρ₃, d₃. . . , ρ_N) вектор, составленный из параметров геоэлектрического разреза. При этом требуется, чтобы выполнялось условие М ≥ 2N - 1. Отметим, что практически удобнее минимизировать не функционал (40), а сумму квадратов разностей логарифмов ρ_к:

I_log(ρ_l, d_l, ρ₂, d₂, ρ₃, d₃. . . , ρ_N)=I_log( )= = min, поскольку графики кривых зондирования наиболее дифференцированы при изображении именно на билогарифмических бланках. Последний функционал будем называть функционалом логарифмической невязки. Задача подбора решается на основе итерационной процедуры, состоящей в последовательной коррекции вектора параметров (ρ_l, d_l, ρ₂, d₂, ρ₃, d₃. . . , ρ_N) и образовании последовательности (i = 1, 2, . . . , L) наборов этих параметров, минимизирующей функционал I_log. При этом корректировка параметров осуществляется с помощью стандартной процедуры быстрейшего спуска или метода Ньютона, при которых теоретические кривые зондирования, полученные на каждом последующем итерационном шаге, лежат ближе (в смысле уменьшения функционала I_log) к наблюденной кривой, чем кривые, найденные на предыдущем шаге. Итерационная процедура завершается тогда, когда функционал I_log становится соизмеримым с величиной ε, характеризующей среднеквадратическую точность определения ρ_к.

Если обратная задача решается в классе одномерных геоэлектрических моделей с небольшим числом N слоев (причем каждый из слоев предполагается достаточно «толстым» настолько, чтобы избежать действие принципа эквивалентности), ее решение в соответствии с теорией регуляризации Тихонова получается устойчивым. Иными словами, минимизация функционала логарифмической невязки в классе моделей с небольшим числом достаточно толстых слоев - это простейшая форма регуляризации.

Однако этот класс моделей не всегда приемлем для описания реальных геоэлектрических разрезов, состоящих из большого числа однородных или даже неоднородных слоев. Поэтому на практике приходится искать решение обратных задач, перебирая большое число подбираемых параметров. При этом основная сложность подбора заключается не в том, что приходится численно рассчитывать достаточно сложные кривые электрического зондирования.

Неустойчивость решения обратной задачи проявляется в том, что одна и та же экспериментальная кривая может быть описана либо плавной теоретической кривой, либо кривой значительно более сложной формы, как бы колеблющейся с высокой частотой около наблюденной кривой. Следовательно, основная задача методов регуляризации заключается в том, чтобы предотвратить это «разбалтывание» теоретических кривых, приводящее к резкому возрастанию неопределенности в выборе параметров модели.

В настоящее время в ряде организаций созданы и успешно функционируют программы автоматического подбора геоэлектрических разрезов.

Основным итогом работ методами электрических зондирований служат, как правило, геоэлектрические разрезы, построенные на основе количественной одномерной интерпретации кривых зондирований в каждой отдельной точке. При построении таких разрезов на профилях под точками зондирований вдоль вертикальной оси откладывают границы разделов слоев с указанием их удельных электрических сопротивлений. Затем, плавно соединяя полученные отметки глубин на соседних пунктах зондирования, строят вертикальные геоэлектрические разрезы. При этом надо иметь в виду, что, поскольку реальные разрезы не

одномерны, а характеризуются латеральными изменениями мощностей отдельных слагающих их слоев, полевые кривые ВЭЗ или ДЗ могут быть искажены, т. е. могут отличаться от теоретических кривых, отвечающих одномерному разрезу. Строгий количественный учет таких искажений может быть осуществлен только путем численного решения прямых задач электроразведки на постоянном токе для двумерных или даже трехмерных геоэлектрических моделей.