Низкочастотная асимптотика импеданса для разрезов с плохо проводящим основанием

Пусть плоская электромаг­нитная волна распространяется в двуслойном геоэлектрическом разрезе с параметрами σ₁, d_l, σ₂ = 0. Выражение для импеданса Z в соответствии с (1.24) и (1.21а) записывается

Z = R₂ = cth(-ik₁d₁ + arcth ). (1.25)

Причем, поскольку

k = ,

arcth = arcth = = = → 0 (1.26)

при σ₂ → 0.

Подставляя (1.26) в (1.25), получаем

Z = cth(-ik₁d₁). (1.27)

Устремляя в (1.27) частоту ω к нулю (а следовательно, и волновое число k₁ → 0), с учетом асимптотики arcth ~ x при x → 0, получаем

Z = = , (1.28)

где S₁ = σ₁d₁ - продольная проводимость первого слоя.

Для трехслойного разреза с параметрами σ₁, d_l, σ₂, d₂, σ₃ = 0 на основании (1.24) и (1.21а), очевидно, имеем

Z = R₃ = cth(-ik₁d₁ + arcth( cth(-ik₂d₂))), (1.29)

где учтено, что arcth → 0, при σ₃ → 0.

Устремляя в (1.29) ω → 0 (следовательно, k₁ →0 и k₂ →0) и учитывая асимптотическую формулу arcth ~ x при x → 0, записываем

Z cth(-ik₁d₁- ) = = , (1.30)

где S = S₁ + S₂ = σ₁d₁ + σ₂d₂ - суммарная продольная проводимость двух проводящих пластов разреза.

С помощью метода математической индукции полученный результат легко распространяется на N – слойный разрез (при σ_N = 0):

Z , (1.31)

S = σ₁d₁ + σ₂d₂ +… σ_N-1d_N-1 - суммарная продоль­ная проводимость всех проводящих слоев разреза.

Формула (1.31) показывает, что на достаточно низких частотах импеданс определяется лишь параметром S разреза.