Астрофизика

§ 31 Белые карлики

Задача №33. Из соображений подобия найти качественную связь между радиусом R u массой. M_S звезды, вещество которой подчиняется уравнению состояния .

Ответ: .

Задача №34. Рассчитать константу, входящую в ответ Задачи №33.

Решение: Ввиду важности этой задачи рассмотрим ее достаточно подробно.

В обозначениях §28,29 уравнения равновесия газовой конфигурации имеет вид:

;

Они сводятся к одному уравнению. Для этого удобно ввести новую искомую функцию

где



единственный безразмерный комплекс данной задачи. Уравнение для функции f имеет вид:

(4.24)

(уравнение Лана-Элдена показателя 3/2).

Граничные условия:

; (4.25)

. (4.26)

Соотношение (4.25) вытекает из того, что при остается конечным. В самом деле, согласно первому уравнению равновесия при убывает как . Тогда (4.25) получается с помощью второго уравнения равновесия.

Искомую константу можно вычислить, интегрируя (4.24)

или

. (4.27)

Решить аналитическое уравнение (4.24) не удается. Его приходится решать численно. Методика поиска численного решения описана ниже. Сейчас покажем, как можно оценить и тем самым найти приближенно правую часть (4.27).

Проинтегрируем уравнение (4.24) по  :

. (4.28)

Интегрируем еще раз:

Меняя в последнем уравнении порядок интегрирования, окончательно получим интегральное уравнение для f :

. (4.29)

Его ложно решить приближенно итерационным методом, выбрав в качестве начального приближения некоторую подходящую пробную функцию, например :

которая удовлетворяет граничным условиям и более-менее отражает ожидаемый ход . Подставляя ее в (4.29), с помощью (4.26) и (4.28) находим: ; .

Обратимся теперь к численному решению задачи. Вкратце методика поиска его заключается в следующем. Принимается некоторое стартовое значение ( известно из граничного условия (4.25)). Затем, например, методом Рунге-Кутта, решаем численно уравнение (4.24) и находим при . Далее определяем ₀ при котором . Вообще говоря, . Поэтому варьируем , добиваясь, чтобы ₀ равнялось 1 (второе граничное условие (4.26)).Попутно вычисляем . Решения уравнения (4.24) для некоторых значений приведены на рис.39. Расчеты по этой схеме дают следующие результаты: : ; (найденное выше приближенное значение отличается от точного всего на 30% ). Тогда из (4.27) находим:

. (4.30)

Ответ: .

Пожалуй, больше всего известно о физических свойствах белого карлика (БК) под названием Сириус B. Что это за звезда? Еще в прошлом веке известный математик и астроном Бессель заметил, что самая яркая звезда на нашем небе Сириус описывает волнистую траекторию (рис. 40). Очевидная интерпретация  Сириус входит в состав двойной системы. Спутником его является слабая звезда. Последующие исследования подтвердили эту гипотезу. Около Сириуса был обнаружен слабый спутник  Сириус B. Это близкая к нам система двойной звезды. Расстояние до нее меньше 10 пс. Поэтому достаточно надежно определяются элементы орбиты и массы компонент и светимость. Уже в нашем веке был установлен их спектральный класс. Эти данные привели к выводу о том, что Сириус B имеет громадную плотность  на несколько порядков превосходящую среднюю и даже центральную солнечную.

Открытие БК поставило перед исследователями проблему: в какой форме находится вещество БК, и как они устроены? Ответ на этот вопрос мог быть получен лишь с развитием квантовой механики, после открытия статистики Ферми.

Сейчас известно несколько тысяч БК. Относительная численность их порядка 10 % от звезд в Галактике.

Наблюдения показывают, что

Здесь , и - характерные массы, радиусы и светимости белых карликов. Напомним, что .

Задача №35. Оценить поверхностную температуру БК .

Ответ: .

Проанализируем эти данные. Прежде всего отсюда вытекает, что БК имеют плотности:

Оценим далее центральную температуру БК . Предположим, что вещество БК представляет собой идеальный газ. Тогда, воспользовавшись результатом Задачи №35 имеем:

Подставляя параметры БК, получим:

то есть, температура в центре БК должна достигать миллиарда или даже 10 млрд. градусов. Но при столь высокой температуре идут ТЯР с огромным энерговыделением, значительно большим, чем на Солнце. Следовательно, светимость БК должна быть существенно больше светимости Солнца. В действительности это не так. Светимость БК на два-три порядка меньше светимости Солнца. Это, в свою очередь, означает, что не может быть столь высокой.

В чем причина такого несоответствия? Очевидно, использованная формула оценки температуры в данном случае неприменима. Почему? Дело заключается в следующем: при ее выводе использовано уравнение состояния идеального газа. Огромное значение плотности БК наталкивает на мысль о том, что вещество в них вырождено. В самом деле, при  равной пороговому значению температуры, при которой начинается реакция горения гелия, согласно (4.11)

То есть, даже это значение . В действительности должно быть еще меньше, т.к. Зпроцесс не идет в БК, в противном случае их светимость из-за высокого энергетического выхода реакции этого типа была бы значительно выше солнечной. А это не так. Поэтому температура БК меньше 10⁸ K. Следовательно, вещество БК вырождено.

В равновесии БК удерживаются за счет давления вырожденного электронного газа, который имеет жесткое уравнение состояния. Важной особенностью вырожденного вещества является то, что давление его при отлично от нуля (формула (14.10) записана для случая ). Поэтому БК могут находится в равновесии в отсутствие внутренних источников энергии. Вырожденное вещество обладает также высокой прозрачностью и теплопроводностью. В самом деле, процесс поглощения фотона сопровождается переходом электрона на траекторию с большей энергией. Но поскольку траектории с низкими значениями энергии в вырожденном газе все заполнены, то переходить с траектории на траекторию может лишь малая часть электронов, имеющих высокие значения энергии. Это означает, что в процессе поглощения фотонов может принимать участие лишь малая доля электронов. Этим и обеспечивается высокая прозрачность вырожденного вещества. Поэтому БК представляют собой изотермические конфигурации в том смысле, что температура по радиусу БК практически не меняется, достигая нескольких десятков миллионов градусов. И лишь в очень тонком поверхностном слое температура падает примерно до нескольких десятков тысяч градусов. В этом смысле БК устроены проще всего.

Практически не имея источников энергии, БК постепенно остывают, излучая запасы своего тепла.

Задача №36. Оценить время остывания БК t_БК.

Ответ: .

В Задаче №33 показано, что радиус вырожденного газового шара, то есть БК убывает с ростом массы как .^{^} На рис 41 сплошной линией приведены результаты более детальных расчетов зависимости RM для БК. На этот же рисунок нанесены определенные из наблюдений значения радиусов и масс для некоторых БК. Как видно, совпадение теории с наблюдениями очень хорошее. Впрочем, это не удивительно, поскольку, как говорилось, БК  наиболее просто устроенные звезды.

Задача №37. Рассчитать равновесные параметры звезды, вещество которой подчиняется уравнению состояния , то есть, является релятивистски вырожденным. (см. §27 формула (4.12)).

Решение: В безразмерных переменных уравнение равновесия имеет вид:

где



безразмерный комплекс данной задачи (отметим, что радиус звезды В уравнения не входит). Приближенные оценки, которые можно получить аналогично Задаче § 34, дают следующие результаты: (точные значения этих величин, полученные численным интегрированием, таковы: ; ).

Ответ: .

Обратим внимание на одну чрезвычайно важную особенность рис. 41. Как видно из него, кривая, описывающая связь между радиусом и массой БК, испытывает резкий "завал". Что означает такое поведение зависимости ? Оно означает, что в природе не могут существовать БК с массой, превышающей некоторое предельное значение M_c  так называемый предел Чандрасекара. С чем он связан? Дело заключается в следующем. Если плотность вещества БК превышает некоторое критическое значение ( ), то в среде наступает следующая стадия вырождения. Газ становится ультрарелятивистским. Он подчиняется уравнению состояния (4.12) (см. § 27). Тогда согласно результатам Задачи №37 в равновесии может находится лишь конфигурация с вполне определенной массой. Если подставить численные значения параметров в ответ задачи, то получим

. (4.31)

Здесь принято _e=2 .

Чему равен радиус ультрарелятивистского БК с массой, равной предельной? Он произволен (в этом смысле равновесие безразличное). Лишь бы плотность вещества превышала критическое значение, при котором наступает релятивистское вырождение. В реальных звездах релятивистское вырождение будет иметь место только вблизи центра. В значительной внешней части звезды газ будет нерелятивистским.

Что произойдет с БК, масса которого превышает чандрасекаровский предел? Ответ на этот вопрос см. ниже в §§ 39 - 41.

Вопрос о происхождении БК рассмотрен в § 37.

Содержание