7. Законы Кеплера

Отталкиваясь от идеи Коперника о том, что планеты движутся по окружностям, Кеплер в течение длительного времени пытался подобрать параметры орбит так, чтобы они удовлетворяли наблюдательным данным о положении планет на небе, полученным за 20 лет наблюдений за планетами его учителем Тихо Брагэ и им самим. Проанализировав всевозможные варианты комбинаций круговых движений, он пришел к выводу, что траектории планет не могут быть окружностями. Поэтому Кеплер сделал следующий шаг и предположил, что орбиты планет являются эллипсами. И здесь его ждал успех. Сравнительно быстро он установил первые два закона движения планет: 1) планеты движутся по эллипсам, в одном из фокусов которых располагается Солнце; 2) радиус-вектор планеты с началом в Солнце за равные промежутки времени описывает равные площади.

Чтобы охарактеризовать точность, с которой выполнены наблюдения и их анализ Кеплером, стоит привести значения эксцентриситетов e орбит нескольких планет: для орбиты Марса  e  0.09, Юпитера  e  0,05, Земля  e  0,02. Вот такие сравнительно небольшие отличия от окружностей позволили обнаружить наблюдения Брагэ и Кеплера.

Далее, считая, что между периодом вращения планеты и ее размером должна быть связь, Кеплер в течение ряда лет искал эту связь. Поиски ее привели к открытию третьего закона:

,

где Т  период вращения планеты вокруг Солнца, а  большая полуось орбиты, и, что крайне важно, константа в правой части этого соотношения одинаковая для всех планет.

Разумеется, Кеплер не мог ответить на вопрос, почему законы движения планет именно такие, и не мог объяснить величину константы. На эти вопросы ответил Ньютон.

Значение законов Кеплера трудно переоценить. Они, в частности, сыграли огромную роль в установлении Ньютоном закона всемирного тяготения. Ньютон выдвинул идею о том, что сила, которая отклоняет планеты от прямолинейного движения и удерживает их на орбитах, есть та же самая сила притяжения планет к Солнцу, которая заставляет падать яблоко на Землю. Эту идею он проверил с помощью системы Земля  Луна. Рассуждения его были такими. Величина ускорения свободного падения на поверхности Земли g известна со времен Галилея, и она равна g10 мс^2. Ускорение g_Л, которое создает Земля на расстоянии Луны, согласно Ньютону равно , где ,  расстояние от Земли до Луны. Тогда g_Л  0.3 мс^2. С другой стороны, центростремительное ускорение g_цс, которое должна испытывать Луна, вращаясь вокруг Земли, , а_Л  0.3 мс^2 (Т_Л  27.3 суток  период вращения Луны вокруг Земли). Из факта равенства g_Л и g_цс следует, что сила, удерживающая Луну на орбите Земли, действительно есть сила гравитации. Отсюда Ньютон сделал вывод, что открытый им закон тяготения носит всемирный характер. Движение планет происходит именно под действием силы гравитации. Ньютон рассчитал возможные траектории планет в гравитационном поле, создаваемом Солнцем, и получил выражение для константы в третьем законе Кеплера.

С помощью законов механики задача о движении двух тел, взаимодействующих по закону r^1, может быть легко решена  это известная из механики задача Кеплера (см. "Механику" Л.Д. Ландау и Е.М. Лифшица), Как известно, орбита материальной точки в этом поле представляет собой коническое сечение с фокусом в центре масс взаимодействующих точек. Поскольку, как уже говорилось, масса Солнца значительно больше массы любой из планет, то с достаточной степенью точности можно считать, что Солнце действительно находится в фокусе орбиты. Второй закон Кеплера есть просто следствие закона сохранения момента импульса. Наконец, константа в третьем законе Кеплера, полученная в Задаче № 5 в приближении круговых орбит (мы ограничимся этим простейшим вариантом), оказывается равной:

где m  масса какой-либо планеты. Если , что и имеет место для Солнечной системы, то правая часть действительно оказывается одинаковой для всех планет.

Исключительная важность третьего закона Кеплера вытекает из последнего соотношения: с его помощью оказывается возможным определять массы небесных тел, в первую очередь  Солнца. В самом деле, если известно расстояние, скажем от Земли до Солнца , период вращения Земли вокруг Солнца, то отсюда можно вычислить массу Солнца (масса Земли нам уже известна). Земной год, как уже говорилось, был известен в древности. Расстояние от Земли до Солнца с точностью до нескольких процентов измерено в XVIII веке. В этом же веке измерена константа G. Это позволило оценить массу Солнца. Правда, относительная точность определения приблизительно в три раза хуже, чем точность нахождения (почему?). Чтобы уменьшить погрешность определения , следует поднять точность измерения . Как это делается современными методами? Расстояние до Солнца можно было бы определить с помощью метода параллакса, однако этому препятствуют некоторые обстоятельства, прежде всего, искажения, возникающие из-за сильного разогрева оптических инструментов вследствие мощного излучения Солнца. Поэтому величину определяют непрямыми методами, привлекая для этого опять же третий закон Кеплера. Суть идеи вкратце заключается в следующем. Запишем третий закон Кеплера для двух планет, скажем. Земли и Марса:

Здесь индексом "М" отмечены величины, относящиеся к Марсу. Период вращения Марса определяется с хорошей степенью точности о помощью наблюдений за положением этой планеты относительно звезд. Далее:

,

где d  разность радиусов орбит Земли и Марса (для простоты все рассуждения здесь проводятся в приближении круговых орбит). Последняя величина может быть измерена с хорошей степенью точности с помощью метода параллакса или радиолокационными методами. Расстояние тогда вычисляется из этих двух соотношений. Для увеличения точности определения , очевидно, следует использовать объекты, которые как можно ближе подходят к Земле. Таким объектом является малая планета Эрос. Наконец, тщательные исследования траекторий Меркурия и Венеры, уточнение расстояний до них с помощью радиолокационных измерений позволили определить с точностью порядка 500 км. Как оказалось

Тогда .

Совершенно аналогичным способом определяются массы планет с помощью изучения движения их спутников, а также массы других звезд, если они входят в состав двойных систем. Это самый точный метод нахождения масс звезд. Сказанным и определяется значение законов, найденных Кеплером и объясненных Ньютоном.

В заключение хотелось бы остановиться на некоторых моментах. Всякие законы хороши только тогда, когда они позволяют предсказывать новые явления. В этом смысле обсуждаемые законы позволили сделать очень много предсказаний. Было предсказано существование новых планет  Нептуна и Плутона. Было предсказано возвращение кометы Галлея. У звезды Сириус был предсказан и впоследствии обнаружен спутник  новый класс звезд  белый карлик. Сейчас в двойных системах ищут черные дыры.

Особенно стоит остановиться на точности этих исследований. Еще в прошлом столетии было установлено, что после учета всех возмущений орбита Меркурия оказывается незамкнутой. Оси орбиты, скажем, большая ось смещается со временем. Угловая скорость смещения в сто лет (t ‑ время, см. рис. 5). Возникает проблема: как это может быть? Орбита точки в поле с потенциалом, спадающим как r^1, должна быть замкнутой (разумеется, речь идет о гравитационно связанных телах). Почему же орбита Меркурия оказалась незамкнутой? Ведь Солнце с большой степенью точности  шар, и расстояние от него до Меркурия значительно больше радиуса Солнца. Далее, как получить наблюдаемую величину смещения осей орбиты Меркурия (или, как еще говорят, перигелия Меркурия)? Оказалось, что всю совокупность этих данных можно объяснить, если отказаться от классической теории гравитации Ньютона и воспользоваться общей теорией относительности Эйнштейна. Таким образом, точность наблюдений такова, что они позволили обнаружить расхождения с классической физикой еще в прошлом веке. Сейчас трудно сказать, насколько сильно этот наблюдательный факт повлиял на Эйнштейна. Однако смещение перигелия Меркурия явилось одним из основных экспериментов по проверке общей теории относительности.

Задача №7. Показать, что движение точки под действием силы гравитации по круговой орбите вокруг центрального тела устойчиво по отношению к малым возмущениям, не изменяющим форму орбиты и момент импульса точки.

Задача №8. Аналогично предыдущей задаче получить условие устойчивости круговых орбит в центрально-симметричном поле с потенциалом (r). Исследовать, в частности, случай степенной зависимости  от r.