§ 3.3. Второй и третий обобщенные законы Кеплера

Из соотношения (3.5) следует, что

Можно показать, что , где  — секториальная скорость, т.е. площадь, описываемая радиус-вектором движущегося тела в единицу времени.

Таким образом, секториальная скорость для движущегося тела есть величина постоянная — это формулировка второго обобщенного закона Кеплера, а соотношение (3.11) есть математическое выражение этого закона.

Пусть некоторое тело массы m движется вокруг центрального тела массы M по эллипсу. Тогда секториальная скорость равна , где — площадь эллипса, Т — период обращения тела, a и b — большая и малая полуоси эллипса соответственно. Полуоси эллипса связаны между собой соотношением: , где e— эксцентриситет эллипса. Учитывая это, а также формулу (3.8), получим: , где . Отсюда после преобразований имеем:

Соотношение (3.12) представляет собой запись третьего обобщенного закона Кеплера.

Записав формулу (3.12) для двух тел, массы которых т₁ и т₂, большие полуоси их эллиптических орбит а₁ и a₂, периоды их обращений вокруг центральных тел с массами М₁ и М₂ есть T₁ и T₂, и приняв во внимание, что правые части полученных равенств будут равны, после преобразований получим:

Это есть вторая форма записи третьего обобщенного закона Кеплера.

Если рассматривать движение двух планет вокруг Солнца, т.e. вокруг одного и того же тела (М₁= =М₂), и пренебречь массами планет (т₁=m₂=0) в сравнении с массой Солнца, то получим формулу (2.7), выведенную Кеплером из наблюдений. Так как массы планет в сравнении с массой Солнца незначительны, то формула Кеплера достаточно хорошо согласуется с наблюдениями.

Формулы (3.12) и (3.13) играют большую роль в астрономии: они дают возможность определять массы небесных тел (см. § 3.6).