§ 3.1. Закон всемирного тяготения. Задача двух тел

Основные законы движения тел позволили И. Ньютону сформулировать и математически доказать следующую теорему: “Силы, которыми главные планеты постоянно отклоняются от прямолинейного движения и удерживаются на своих орбитах, направлены к Солнцу и обратно пропорциональны квадратам расстояния от его центра”.

Доказав далее, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, тождественна с силой тяжести, действующей на поверхности Земли, Ньютон обобщил эту теорему и выразил ее в форме закона всемирного тяготения:

“Каждые две частицы материи притягивают взаимно друг друга, или тяготеют друг к другу, с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними”.

Математически закон всемирного тяготения Ньютона записывается так:

где F — сила притяжения частиц материи, m₁ и m₂ — массы частиц, r — расстояние между ними, G— коэффициент пропорциональности, равный силе, с которой притягиваются друг к другу две частицы с единичными массами и находящиеся на единичном расстоянии друг от друга. Коэффициент G называется постоянной тяготения, или гравитационной постоянной, он равен 6,67 · 10 ^11 Нм² /кг².

Основные закономерности в поступательном движении небесных тел можно установить из исследования задачи двух тел, под которой понимается задача изучения движения этих тел под действием силы взаимного тяготения. При этом тела считаются точечными.

Пусть тела имеют массы m₁ и m₂. Введем прямоугольную декартову систему координат, в которой зададим положение каждого тела радиус-векторами соответственно и . Обозначим через вектор расстояния между телами. Запишем закон динамики для каждого из тел:

где и — вторые производные векторов.

Отсюда _, но, учитывая, что и обозначив , получим:

Уравнение (3.4) описывает движение одного из тел относительно другого тела. Решение этого уравнения получил Ньютон.

Дифференциальное уравнение (3.4) имеет два интеграла движения:

1. Интеграл площадей

где — скорость тела. Соотношение (3.5) является следствием закона сохранения момента импульса.

2. Интеграл энергии

Соотношение (3.6) является следствием закона сохранения механической энергии.

Основные результаты решения уравнения (3.4) можно представить в виде трех обобщенных законов Кеплера.