§ 3.2. Первый обобщенный закон Кеплера. Характеристические скорости

Законы Кеплера были получены им эмпирически в результате исследования видимых движений планет. Поэтому первый закон Кеплера в формулировке, данной в § 2.2, справедлив лишь в отношении больших планет и тех тел Солнечной системы (некоторых комет, астероидов), которые движутся вокруг Солнца по замкнутым орбитам.

Если же иметь в виду движения небесных тел вообще, то на основании предыдущего параграфа этот закон надо сформулировать в следующем виде: под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений — кругу, эллипсу, параболе или гиперболе, при этом другое тело находится в фокусе этого сечения.

В этой формулировке первый обобщенный закон Кеплера будет справедлив уже для всех комет, орбиты которых либо эллипсы, либо параболы, либо гиперболы; он будет справедлив и для спутников больших планет, орбиты которых эллипсы, но в их фокусах находятся большие планеты, и для физических двойных звезд, обращающихся по эллиптическим орбитам вокруг общего центра масс, и т.д.

В общем виде решение уравнения (3.4) имеет вид:

где p — фокальный параметр траектории, e — эксцентриситет,  — истинная аномалия, т.е. угол между направлениями на движущееся тело и на ближайшую точку траектории — перицентр.

Величины p и e выражаются через интегралы движения следующим образом:

Как видно из (3.9), возможны три вида траекторий:

1. если 0  e 1 (h 0) — эллипс (при e = 0 — окружность);

2. если e = 1 (h = 0) — парабола;

3. если e  1 (h  0) — гипербола.

Рис. 3.1. Характеристические скорости.

Пусть неподвижное тело массы М, сосредоточенная в точке С, притягивает к себе в некоторый момент материальную точку массы т с силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния r между телами (рис. 3.1). В этом случае ускорение точки т будет направлено по прямой тС, а ее дальнейшее движение будет зависеть от расстояния и от величины и направления скорости v₀, которые она имела в начальный момент (в момент начала действия притяжения массой М).

Если скорость v₀ > 0, но не превосходит некоторого предела , то точка т будет двигаться по эллипсу, в одном из фокусов которого будет находиться точка С. Плоскость эллипса будет проходить через точки С, т и направление скорости v₀ .

Форма и размеры эллипса будут различны, смотря по величине скорости v₀ . При малых v₀ эллипс будет сильно сжатым, его большая ось будет лишь немного больше, чем Cm, и точка С будет находиться в фокусе, далеком от m. Если скорость v₀ будет близка к скорости v_c , но меньше ее, то эксцентриситет эллипса будет мал, его большая полуось будет лишь немного меньше, чем Cm, точка С приблизится к центру эллипса, но останется в фокусе, далеком от т.

Если начальная скорость v₀ = v_c и будет направлена перпендикулярно к линии Cm, то точка m будет двигаться по кругу радиуса Сm.

Если v₀ > v_c , но не превосходит некоторого предела , то точка т будет двигаться по эллипсу, но точка С при этом будет находиться в фокусе, близком к m, а большая ось эллипса будет тем больше, чем ближе v₀ к .

Если v₀ = , то точка т будет двигаться по параболе, обе ветви которой уходят в бесконечность, приближаясь к направлению, параллельному оси Ст. По мере того как точка т будет удаляться от тела М, ее скорость будет стремиться к нулю.

Если v₀ > , то точка т будет двигаться по гиперболе, ветви которой уходят в бесконечность и, при очень большой начальной скорости, приближаются к направлению, перпендикулярному к оси Ст. По мере того как точка т будет удаляться по гиперболе, ее скорость будет стремиться к некоторой постоянной величине.

Наконец, в предельных случаях, когда v₀ = , точка т будет двигаться по прямой тb, а когда v₀ = =0, то по прямой тС.

Можно показать, что скорость v точки т на любом расстоянии r от точки С получается из формулы

где а — большая полуось траектории.

Скорость v_c называется 1-й характеристической или циклической (круговой) скоростью, а — 2-й характеристической или параболической скоростью. Скорость эллиптического движения v_э заключена в пределах 0 < v_э < , а гиперболическая скорость v_r > .

Если рассматривать движение искусственного спутника вблизи поверхности Земли, то 1-я характеристическая скорость называется 1-й космической скоростью и равна 7,9 кмс, а 2-я характеристическая скорость — 2-й космической, равной 11,2 кмс.