§20.2. Работа силы Ампера на перемещении проводника с током в постоянном магнитном поле
Рассмотрим элемент с током , ориентированный по току, движущийся со скоростьюв постоянном магнитном поле с индукциейв месте нахождения. На один носитель зарядаq0 в этом элементе со стороны магнитного поля действует сила, равная
,
где дрейфовая скорость носителей относительно элемента .
Полная сила, действующая со стороны магнитного поля на совокупность носителей заряда в рассматриваемом элементе с током:
,
где dN количество носителей в элементе. Тогда
С первым слагаемым мы уже сталкивались. Это сила Ампера . Последнее слагаемое обозначим, то есть
.
Пусть dt время, которое один носитель затрачивает на прохождение отрезка движущегося проводника. Тогдапредставляет собой перемещение всех рассматриваемыхdN носителей относительно движущегося проводника. Обозначим элементарное перемещение проводника с током за время dt относительно неподвижного магнитного поля, как . Полное перемещение совокупностиdN носителей относительно источников постоянного магнитного поля в соответствие с классической относительностью перемещения
.
Следовательно, работа магнитной силы на перемещении совокупностиdN носителей
формально раскладывается на 4 слагаемых. Теперь проанализируем ситуацию с направлениями. Очевидно, что , поскольку. Очевидно, что, поскольку (рис.20.1).
Рис.20.1
Значит, из четырёх слагаемых элементарной работы магнитной силы два, и, равны 0. Оказывается, эта работа содержит всего два слагаемых:
.
Рассмотрим эти слагаемые по очереди.
Элементарная работа силы Ампера, действующей на элемент проводника с током
выражается через смешанное произведение трёх векторов, к которому применимо правило циклической перестановки:
Вектор являетсявектором элементарной площади, заметённой элементом при его поступательном движении (рис.20.2, левый).
Рис.20.2
Из правого чертежа видно, что модуль векторного произведения действительно равен величине заметённой площади.
Итак,
,
следовательно, учитывая определение магнитного потока
.
Работа силы Ампера при перемещении проводника с током в магнитном поле равна отрицательному произведению силы тока на заметённый магнитный поток.
Элементарная работа силы
В преобразованиях использовалось обозначение поперечного сечения проводника с током и свойство циклической перестановки смешанного произведения трёх векторов.
Отсюда можно сделать очень важный вывод:
Две составляющие полной магнитной силы одновременно совершают работу, равную по величине и противоположную по знаку. Это значит, что работа полной магнитной силы при движении проводника с током в постоянном магнитном поле всегда равна 0, поскольку при заметании магнитного потока проводником с током происходит обмен энергии.
Если сила Ампера направлена против движения, то она совершает отрицательную работу. Для того чтобы проводник двигался с постоянной скоростью, против тормозящей силы Ампера должна действовать сила со стороны источника механического движения . Энергия источника механического движения, затраченная на работу против силы Ампера должна где-то выделяться. Она выделяется в положительной работе, совершаемой силой, котораядвигает носители заряда и поддерживает ток в проводнике, являясь, таким образом, источником положительной ЭДС. По этой схеме работает преобразователь механической энергии в электрическую, то есть электрогенератор. Цепочка энергетических преобразований электрогенератора выглядит так:
Следовательно, энергетические затраты источника механической энергии электрогенератора
Мощность ЭДС электрогенератора:
,
следовательно,
ЭДС электрогенератора равна скорости заметания магнитного потока.
В противоположном случае сила Ампера сама будет источником движения: её работа пойдёт на увеличение механической энергии проводника или на работу против сил сопротивления. Для поддержания постоянной силы Ампера необходимо поддерживать постоянный ток, протеканию которого будет препятствовать сила . Против неё будет совершена положительная работа сторонних сил внешнего источника ЭДС, которая, таким образом, выделится в виде приращения механической энергии проводника. По этой схеме работает преобразователь электрической энергии в механическую, то естьэлектродвигатель. Цепочка энергетических преобразований электродвигателя выглядит так:
Следовательно, элементарная работа сторонних сил источника тока электродвигателя:
Значит,
.
Механическая мощность двигателя равна мощности источника тока:
Механическая мощность электродвигателя равна произведению силы тока на отрицательную скорость заметания магнитного потока.
До сих пор мы рассматривали дифференциальные соотношения второго порядка малости. Дадим определение: потокосцеплением называется магнитный поток через поверхность, натянутую на замкнутый контур проводника.
Рассмотрим перемещение замкнутого контура с током I в постоянном по времени магнитном поле произвольной конфигурации. Пусть в результате малого перемещения (возможно со слабым изменением формы) контур перешёл из положения С и С' (рис.20.3).
Рис.20.3
При этом малый элемент контура совершил перемещениеи замёл малую площадку, направленнуювнутрь замкнутой поверхности, состоящей из поверхностей S (натянутой на первоначальный контур), S' (натянутой на контур после перемещения) и dSбок (полной боковой поверхности, заметённой при перемещении). Вектор направленнаружу по отношению к замкнутой поверхности.
Магнитный поток через элемент боковой поверхности равен отрицательному заметённому магнитному потоку:
Элементарная работа силы Ампера при перемещении элемента :
Полная работа силы Ампера при перемещении всего контура,
,
выражается через магнитный поток, пронизывающий всю боковую поверхность, то есть поверхность, заметённую всем контуром при перемещении из С в С'.
По теореме ОГ для магнитного поля магнитный поток через рассматриваемую замкнутую поверхность должен быть равен 0. С другой стороны он состоит из потокосцепления через поверхность S, отрицательного потокосцепления -(+d) через поверхность S' (знак «-» связан с направлением вектора внутрь замкнутой поверхности) и магнитного потока через боковую поверхность . Тогда имеем равенство:
.
Значит, работа силы Ампера при малом изменении замкнутого контура
Тогда энергетические соотношения для электродвигателя и генератора можно переписать, используя не заметённый магнитный поток, а изменение потокосцепления, следующим образом.
Электрогенератор:
; .
В контуре с переменным потокосцеплением возникает ЭДС, равная скорости убывания потокосцепления контура.
Электродвигатель:
;
При конечном перемещении проводника с током, имеющего конечные размеры, выражения работы силы Ампера через заметённый магнитный поток и, соответственно, через изменение потокосцепления имеют вид:
- Глава 12. Электростатика. Электрический заряд и электростатическое поле
- §12.1. Электрический заряд как источник электрического поля
- §12.2. Понятие электростатического поля
- §12.3. Принцип суперпозиции полей и поле точечного заряда
- §12.4. Поле диполя
- Глава 13. Электростатика. Теорема остроградского-гаусса для напряжённости электростатического поля в вакууме
- §13.1. Вектор площади
- §13.2. Телесный угол
- §13.3. Поток вектора через поверхность
- §13.4. Теорема ог
- §13.5. Применение теоремы ог
- Глава 14. Электростатика. Потенциал
- §14.1. Потенциальность электростатического поля
- §14.2. Понятие потенциала
- §14.3. Связь между векторным полем напряжённости и скалярным полем потенциала
- §14.4. Принцип суперпозиции полей в применении к потенциалу
- §14.5. Примеры расчёта потенциалов полей разных конфигураций
- §14.6. Энергия системы точечных зарядов
- Глава 15. Электростатика.
- §15.1. Диэлектрическая среда
- §15.2. Неполярные диэлектрики
- §15.3. Полярные диэлектрики
- §15.4. Поляризация изотропного диэлектрика
- §15.5. Теорема Остроградского-Гаусса для электростатического поля в диэлектрической среде
- §15.6. Условия на границе раздела двух изотропных диэлектрических сред
- §15.7. Заключение
- Глава 16. Электростатика. Проводники в электростатическом поле
- §16.1. Введение
- §16.2. Распределение нескомпенсированного несвязанного заряда по электростатическому проводнику
- §16.3. Пондеромоторные силы
- §16.4. Электрическая ёмкость уединённого проводника
- §16.5. Неуединённый проводник
- §16.6. Конденсаторы
- §16.7. Батареи конденсаторов
- §16.8. Энергия электростатического поля
- §16.9. Энергия поляризованного диэлектрика
- Глава 17. Постоянный электрический ток. Законы постоянного тока
- §17.1. Основные понятия
- §17.2. Закон Ома в дифференциальной форме
- §17.3. Закон Ома в интегральной форме для элементарного участка
- §17.4. Закон Ома для неоднородного участка цепи (II-я форма интегрального закона Ома)
- §17.5. Закон Ома для однородного участка цепи (I-я форма интегрального закона Ома)
- §17.6. Закон Ома для простого контура (III-я форма интегрального закона Ома)
- §17.7. Законы Кирхгофа
- §17.8. Общий взгляд на интегральный закон Ома.
- §17.9. Закон Джоуля-Ленца в интегральной форме
- §17.10. Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
- Глава 18 .Постоянный электрический ток. Классическая теория электропроводности металлов
- §18.1. Экспериментальные доказательства электронной проводимости в металлах
- §18.2. Классическая теория электропроводности металлов (теория Друде-Лоренца)
- §18.3. Закон Видемана-Франца
- §18.4. Трудности классической теории электропроводности
- Глава 19. Магнетизм. Магнитное поле и его источники
- §19.1. Магнитное поле и его воздействие на движущиеся заряды
- §19.2. Релятивистская природа магнитного воздействия
- §19.3. Сила Ампера
- §19.4. Магнитный момент и воздействие на него магнитного поля
- §19.5. Магнитное поле движущегося заряда
- §19.6. Магнитное взаимодействие зарядов
- §19.7. Закон Био-Савара-Лапласа
- §19.8. Простейшие примеры применения закона Био-Савара-Лапласа
- Глава 20. Магнетизм. Интегральные уравнения
- §20.1. Теорема Остроградского-Гаусса для магнитного поля
- §20.2. Работа силы Ампера на перемещении проводника с током в постоянном магнитном поле
- §20.3. Закон полного тока (теорема Стокса) в вакууме
- §20.4. Поле тороида
- Глава 21. Магнетизм. Магнитное поле в веществе
- §21.1. Орбитальные моменты
- §21.2. Классический атом в магнитном поле
- §21.3. Классификация веществ по их магнитным свойствам
- §21.4. Диамагнетики
- §21.5. Парамагнетики
- §21.6. Магнитная восприимчивость
- §21.7. Закон полного тока в магнетике
- §21.8. Ферромагнетики
- §21.9. Особенности намагничивания ферромагнетиков
- §21.9. Магнитная восприимчивость и магнитная проницаемость ферромагнетика
- Для того, чтобы размагнитить ферромагнетик…
- Глава 22. Электродинамика. Электромагнитная индукция
- §22.1. Закон Фарадея и правило Ленца
- §22.2. Самоиндукция
- §22.3. Замыкание и размыкание электрической цепи
- §22.4. Энергия магнитного поля в неферромагнитной изотропной среде
- Глава 23. Электродинамика. Основы теории максвелла
- §23.1. Введение
- §23.2. Сведения из математической теории поля
- Ротор потенциального поля равен 0.
- Дивергенция вихревого поля равна 0.
- §23.3. Система уравнений Максвелла
- §23.4. Четвертое уравнение Максвелла
- §23.5. Второе уравнение Максвелла
- §23.6. Первое уравнение Максвелла
- §23.7. Третье уравнение Максвелла
- §23.8. Заключение