Примеры расчетов моментов инерции

1. Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через конец стержня (рис.3.15).

Линейная плотность массы стержня

,

. (3.39)

Чтобы найти момент инерции стержня относительно оси, проходящей через точку С (центр инерции) _С, применим теорему Штейнера:  = _С + md ². Здесь .

Тогда

_С =  – md² = .

2. Момент инерции обруча относительно оси, проходящей через центр инерции (точку С) обруча перпендикулярно его плоскости (рис.3.16).

Линейная плотность массы образца

.

(3.40)

3. Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр инерции (точку С) перпендикулярно плоскости диска (рис.3.17).

Поверхностная плотность массы диска:

dS = 2rdr,

. (3.41)

4. Момент инерции шара относительно оси, проходящей через центр инерции (рис.3.18).

объемная плотность массы шара

Разрежем половину шара на диски масса каждого – dm, объем – dV = r²dh, толщина – dh → 0 и радиус – r.

,

тогда

.

Моменты инерции таких дисков

. (3.42)

Момент инерции половины шара получится как результат непрерывного суммирования (интегрирования) этих моментов инерции:

.

.

Момент инерции шара в целом относительно центра инерции – точки С:

_C = 2 _,

. (3.43)