§23.7. Третье уравнение Максвелла

Вспомним теорему Стокса для магнитного поля в магнетике, выводившуюся в теме «Магнитное поле в веществе»:

.

По математической теореме Стокса

Вообще-то ранее мы определяли макроток как ток свободных зарядов. Но если считать, что всегда справедливо, то в случае нестационарного распределения заряда по пространству мы впадем в противоречие.

Взяв дивергенцию от обеих частей предыдущего равенства, получим с одной стороны:

.

Но с другой стороны из закона сохранения электрического заряда ясно, что если заряд внутри замкнутой поверхности меняется с течением времени, то

.

Ясно, что по математической теореме Гаусса

,

а скорость истечения свободного заряда из замкнутой поверхности

.

Тогда:

Отсюда получается, что в нестационарном случае

.

Следовательно,

!!!!

Преобразуем предыдущее соотношение:

.

В соответствии со вторым уравнением Максвелла

,

так как смешанные частные производные можно брать в произвольном порядке. Следовательно:

.

Максвелл решил считать, что в нестационарном случае

.

Тогда противоречия не возникает.

Слагаемое Максвелл назвалтоком смещения, то есть

;

.

Получается, токи всегда замкнуты. Этот факт, очевидный для стационарных токов, с введением Максвеллом токов смещения распространяется и на нестационарные токи тоже. Например, ток разряда конденсатора замыкается током смещения внутри него.

Рис.23.3

Подставляя максвелловское определение плотности макроскопического тока в выраженние , получаем третье уравнение:

Оно указывает на то, что источником магнитного поля являются не только токи свободных зарядов, но и переменные электрические поля. Это предположение во времена Максвелла не было подтверждено никакими экспериментальными фактами и являлось его гипотезой. Но оно делало магнитное и электрическое поля полностью равноправными в отношении друг друга:

не только переменное магнитное поле порождает электрическое, но и переменное электрическое порождает магнитное.