§18.4. Трудности классической теории электропроводности

18.4.1. Удельное сопротивление

Из выражения удельного сопротивления теории Д-Л следует, что  данного металла прямо пропорциональна квадратному корню из абсолютной температуры:

.

Но эксперимент опровергает корневую температурную зависимость. Оказывается, что

во всех металлах удельное сопротивление прямо пропорционально T.

18.4.2. Длина свободного пробега

Выразим длину свободного пробега через удельное сопротивление:

.

Даже при среднеквадратичной скорости, определённой по теории Д-Л (), то есть заведомо заниженной по сравнению с тем, что должно быть при линейной температурной зависимости, экспериментальные значения дают

длины свободного пробега порядка сотен межатомных расстояний.

Это полностью опрокидывает предположение II теории Д-Л.

18.4.3. Теплоёмкость металлов

Очевидно, что полная теплоёмкость металла должна складываться из теплоёмкости кристаллической решётки и теплоёмкости электронного газа:

.

Каждый ион решётки совершает трёхмерные колебания вокруг положения равновесия, что можно представить как суперпозицию трёх одномерных осцилляторов (маятников). С энергетической точки зрения одномерный осциллятор представляет собой постоянный обмен кинетической энергии на потенциальную и обратно. В среднем на кинетическую энергию одномерного осциллятора, также как и на его потенциальную энергию приходится kT/2 тепловой энергии. Тогда на один одномерный осциллятор приходится kT тепловой энергии, а на один узел решётки приходится 3kT тепловой энергии. Для тепловой энергии одного моля решётки

Тогда молярная теплоёмкость кристаллической решётки

.

Последнее соотношение называется законом Дюлонга-Пти.

Как видно из §18.3, молярная теплоёмкость электронного газа

.

Таким образом, молярная теплоёмкость металлов должна быть

.

Эксперименты же показывают, что

теплоёмкость металлов при комнатных и выше температурах определяется законом Дюлонга-Пти.

Это означает, что классическое предсказание теплоёмкости электронного газа сильно завышено.

В рамках классической теории противоречия пп. 18.4.1, 18.4.2, 18.4.3 неустранимы. И только квантовая теория металлов позволяет правильно рассчитать удельное сопротивление, длину свободного пробега и электронную теплоёмкость.

Относительно правильное значение постоянной Видемана-Франца

получилось потому, что две ошибки скомпенсировали друг друга:

во сколько раз предсказанная теплоёмкость оказалась завышенной по сравнению с реальной, во столько же раз теоретическое значение квадрата средней скорости теплового движения оказалось заниженным.