§13.4. Теорема ог

Если − напряжённость поля точечного зарядаQ, то в точке пространства, отстоящей от источника на вектор ,

,

где . Тогда элементарный поток через поверхность, находящуюся в этой точке и направленнуюот заряда, имеет вид:

.

Понятно, что d − телесный угол, под которым видна поверхность из точки расположения источника. Отметим, что выражение потока напряжённости через телесный угол оказалось возможнымисключительно благодаря обратной квадратичной зависимости напряжённости поля точечного источника от расстояния.

Подсчёт потока напряжённости поля точечного заряда через замкнутую поверхность S рассмотрим в двух случаях.

а) Заряд находится внутри поверхности S

Рис.13.6

Из рисунка 13.6 видно, что интегрирование в этом случае производится по полному телесному углу.

б) Заряд находится вне поверхности S

Рис.13.7

Под телесным углом  (рис.13.7) из точки Q видны две поверхности, образующие замкнутую поверхность S: S₁, нормали которой обращены к заряду, и S₂, нормали которой обращены от него.

.

Теперь в первом интеграле интегрирование производится по поверхности, нормали которой тоже обращены от источника, следовательно, теперь оба слагаемых могут быть выражены через телесный угол :

;

Тогда понятно, что полный поток через поверхность S равен 0.

Если имеется совокупность точечных зарядов, то в соответствии с принципом суперпозиции полей

,

где N − количество точечных источников. Следовательно, поток напряжённости их общего поля через произвольную замкнутую поверхность S:

,

где _i=1, если Q_i находится внутри замкнутой поверхности и _i=0, если Q_i находится за пределами замкнутой поверхности, следовательно, − заряд, охваченный замкнутой поверхностью. Тогда окончательно:

Поток напряжённости электрического поля через произвольную замкнутую поверхность в вакууме равен заряду, охватываемому этой поверхностью, делённому на электрическую постоянную вакуума.