§14.5. Примеры расчёта потенциалов полей разных конфигураций

При ограниченном распределении источников поля в пространстве значительное упрощение математических выражений потенциала достигается, если ноль потенциала выбирать на бесконечном удалении от области расположения источников. При вычислении контурных интегралов

во всех приводимых примерах мы будем двигаться по силовой линии поля, то есть .

14.5.1. Точечный заряд

Начало положения выбираем в точке положения источника поля.

Несколько точечных источников всегда находятся в ограниченной области пространства, следовательно, можно удалиться на бесконечно большое расстояние от всех источников сразу. И эта точка, естественно, будет общим началом отсчёта потенциалов всех источников. Тогда по принципу суперпозиции потенциал общего поля в произвольной точке А

,

где R_i - расстояние от точечного заряда Q_i до точки А.

14.5.2. Равномерно заряженная сфера

Приведём (рис.14.6) график зависимости модуля напряженности от расстояния до центра сферы для сферы радиуса R с положительным зарядом Q (по материалам предыдущей главы).

Рис.14.6

Поскольку за пределами сферы поле не отличатся от поля точечного заряда, то и интегрирование от бесконечности до любой точки проходит точно также. Следовательно, в этой области пространства потенциал совпадает с потенциалом поля точечного заряда.

Рассмотрим произвольную точку внутри сферы (r<R). Контур интегрирования − радиальную линию, проходящую через избранную точку, разобьём на два участка: от бесконечности до R и от R до r. Тогда полный интеграл распадётся на два:

,

следовательно, потенциал внутри сферы будет совпадать с потенциалом поверхности, то есть в данном случае это будет эквипотенциальный объём. Теперь сформулируем вывод:

на поверхности и за пределами равномерно заряженной сферы потенциал электростатического поля ничем не отличается от потенциала поля точечного заряда, помещённого в центр сферы и равного заряду сферы; внутри сферы потенциал постоянный и равен потенциалу на поверхности.

Рис.14.7

14.5.3. Однородное поле

Рис.14.8

Начало отсчёта потенциала берём на месте плоскости заряда (рис.14.8). Поскольку распределение заряда безгранично, выбор начала отсчёта потенциала на бесконечности приведёт к расходимости в интеграле. Поэтому так делать в этом случае нельзя.

Рис.14.9

15.5.4. Прямая бесконечная однородно заряженная нить

Это тоже неограниченное в пространстве распределение заряда. На бесконечном удалении брать нельзя, но и на самой нити − тоже, так как в этом случае тоже получится расходимость. Начало отсчёта берём на расстоянии от нити, равном 1м. Обозначим расстояние от нити r.

;

−безразмерное.

Рис.14.10