§13.5. Применение теоремы ог

Теорема даёт возможность рассчитать электрическую напряжённость поля распределённого заряда в случаях простых, но важных пространственных конфигураций.

13.5.1. Напряжённость поля равномерно заряженной сферы

Рис.13.8

Равномерность заряда сферы означает, что её поверхностная плотность заряда одинакова во всех точках сферы:

,

где R − радиус сферы, а Q − её заряд (для простоты будем считать, что он положителен).

Сначала рассмотрим произвольную точку А внутри сферы заряда.

Рис.13.9

Рассмотрим два вертикальных малых телесных угла d, под которыми из точки А видно два участка поверхности сферы заряда dS₁ и dS₂ (рис.13.9). Из рассмотренной выше связи площади и телесного угла, под которым она видна, следует:

С каждой из этих элементарных поверхностей связан элементарный заряд

соответственно. Силы, действующие со стороны этих зарядов на пробный заряд q>0, помещённый в точку А (рис.13.10), в соответствие с законом Кулона равны по модулю:

и противоположны по направлению.

Рис.13.10

Следовательно, полная сила, действующая со стороны поверхности сферы заряда на пробный заряд q и связанная с интегрированием по полному телесному углу, будет равна 0. А поскольку, , то из равенства 0 силы следует равенство 0 напряжённости в любой точке внутри сферы.

Теперь рассмотрим сферическую поверхность S, концентрическую сфере заряда, радиус которой .

Рис.13.11

Очевидно, что система (заряд и его поле) обладает сферической симметрией относительно точки О . Отсюда можно сделать два вывода: во-первых, любой физический вектор, характеризующий данную систему, должен быть направлен по радиальной относительно точки О линии; во-вторых, все точки любой сферы, концентрической сфере заряда должны быть физически эквивалентны друг другу. Следовательно, векторы на поверхностиS будут направлены радиально, то есть перпендикулярно поверхности, а модули их будут одинаковы.

Поток напряжённости через S по определению:

,

Последнее равенство выполняется, так как векторы оба направлены радиально от центра, то есть параллельны друг другу. Поскольку модульЕ одинаков на сфере S, его можно вынести за знак интеграла:

.

Поверхность, поток вектора поля через которую равен произведению постоянного модуля на площадь поверхности, называется гауссовой по отношению к данному векторному полю. Как видно, в рассматриваемом случае все сферы, концентрические сфере заряда, являются гауссовыми. Возможность найти гауссову поверхность объединяет все системы, которые будут рассматриваться в этом параграфе.

По теореме ОГ

.

Тогда мы имеем равенство:

,

следовательно,

.

Теперь сформулируем вывод:

на поверхности и за пределами равномерно заряженной сферы электростатическое поле ничем не отличается от поля точечного заряда, помещённого в центр сферы и равного заряду сферы; внутри сферы напряжённость равна 0.

13.5.2. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной плоскости

Очевидно, что система обладает плоской зеркальной симметрией относительно плоскости заряда. Полупространства слева и справа от этой плоскости являются зеркальным отражением друг друга в ней (поверхность на рис.13.12 изображена «в ребро»).

Рис.13.12

А любые полупространства «верх-низ» физически эквивалентны друг другу. Значит, не существует ни одного вектора, характеризующего систему, который мог быть направлен снизу вверх или сверху вниз. Это же относится к направлениям «на нас − от нас». Следовательно, напряжённость поля плоскости должна быть направлена перпендикулярно плоскости, кроме этого, она не должна изменяться в направлениях вдоль плоскости. Она также не имеет права изменяться в направлении перпендикулярно плоскости в пределах одного (левого или правого полупространства). Это следует из бесконечности плоскости заряда, поскольку как бы далеко мы от неё не отошли, мы по-прежнему находимся рядом с ней.

Гауссовой поверхностью S для этой системы является «консервная баночка», боковая поверхность которой перпендикулярна плоскости заряда, а основания ей параллельны.

Поток напряженности через S по определению

.

Последний интеграл равен 0, поскольку на боковой поверхности и их скалярное произведение равно 0. В силу зеркальной симметрии, параллельности векторовна основаниях и неизменности векторавдоль по основаниям

.

Значит,

.

По теореме ОГ

.

Легко сообразить, что заряд, охваченный «консервной баночкой» гауссовой поверхности S, сосредоточен на площади S_осн, вырезаемой ею на плоскости заряда. Следовательно, . Значит, по теореме ОГ имеем:

.

Тогда можно составить равенство:

.

Проведя сокращение, получаем:

13.5.3. Напряжённость поля равномерно заряженной бесконечной прямой нити

Рис.13.13

вид сверху

Рисунки 13.13 отражают цилиндрическую симметрию системы. Гауссовой поверхностью S для этой системы является также «консервная баночка» в виде цилиндра, коаксиального заряженной нити. Её боковая поверхность параллельна оси заряда, а основания ей перпендикулярны.

Из рисунка видно, что на основаниях поток равен 0, а на боковой поверхности

.

Поток напряжённости по тереме ОГ:

.

Тогда получаем равенство:

.

После сокращения получаем:

Контрольные вопросы к главе 13

1. Чему равна сила взаимодействия двух скрещивающихся под прямым углом равномерно заряженных нитей с линейными плотностями соответственно равными 1 нКл/м и -0,5 нКл/м? (Ответ: 2,8 нН)

2. Две одинаковые квадратные тонкие плоские равномерно заряженные пластины расположены против друг друга параллельно друг другу. Площади пластин равны 100 см². Расстояние между пластинами равно 1,5 мм. Заряд одной пластины равен 50 нКл, другой  (150) нКл. Чему равна сила взаимодействия между пластинами? (Ответ: 424 мкН)

3. При значении напряжённости электрического поля, равном 310⁶ В/м воздух ионизуется и перестаёт быть изолятором. В результате, с заряженных тел, которые он окружает, может стекать заряд. Какой диаметр должен иметь равномерно заряженный провод с линейной плотностью заряда 2 мкКл/м, чтобы удержать заряд? (Ответ: 1,2 см)

4. В равномерно заряженном шаре с объёмной плотностью заряда, равной 5 нКл/м³ вырезали сферическую полость, центр которой находится на расстоянии 2 см от центра шара. Чему равна напряжённость поля внутри полости? (Ответ: 3,8 В/м)