Какая функция по методу Рунге-Кутта используется для построения разностной схемы интегрирования?

Метод Рунге-Кутты используют для расчета стандартных моделей достаточно часто, так как при небольшом объеме вычислений он обладает точностью метода Ο⁴(h).

Функция по методу Рунге-Кутта принимает вид:

Та же схема в форме разностного аналога уравнения (1):

Геометрические построения показывают, что получаемое в такой последовательности решение лежит «ближе» к истинному, чем вычисляемое по схеме Эйлера, то есть следует ожидать более высокой точности решения, получаемого методом Рунге-Кутты. Ранее мы назвали эту схему «модифицированным методом Эйлера».

84.Указать разложение исходной функции в ряд по методу Рунге-Кутта.

Для построения разностной схемы интегрирования воспользуемся разложением функции

в ряд Тейлора:

Заменим вторую производную в этом разложении выражением

где

Причем Δx подбирается из условия достижения наибольшей точности записанного выражения. Для дальнейших выкладок произведем замену величины «y с тильдой» разложением в ряд Тейлора:

85.Как осуществляется замена по методу Рунге-Кутта?

где

86.Из каких соображений выдирается при замене по методу Рунге-Кутта?

Δx подбирается из условия достижения наибольшей точности записанного выражения.

87.В чем состоит подход при решении дифференциальных уравнений методом прогноза и коррекции?

Если требуется достичь ЛЮБОЙ точности на шаге, то следует использовать методы прогноза и коррекции. Этот подход состоит в том, что расчет траектории, задаваемой уравнением, на каждом шаге происходит многократно. А именно, сначала происходит расчет приближенного значения функции на конце шага какой-либо простой формулой (например, методом Эйлера), далее в этой точке вычисляется производная, и расчет происходит снова из начальной точки на шаге, но с уточненным значением производной. Последняя операция — уточнения производной и значения функции на конце шага — происходит МНОГОКРАТНО НА КАЖДОМ ШАГЕ, то есть до тех пор, пока вычисленные значения (функции и производной в конце шага) не перестанут меняться или будут меняться уже незначительно, меньше чем задаваемая заранее величина ε. Только тогда можно сказать, что точность ε достигнута.

88.По какой причине метод прогноза и коррекции не используется в системах реального времени?

Итак, за счет итерационной процедуры на каждом отдельном шаге можно достичь любой, наперед заданной точности ε. За такое достоинство метода приходится платить: к сожалению, невозможно сказать заранее, сколько итераций потребуется для достижения на шаге заданной точности ε. Поэтому такие методы нельзя, например, использовать в системах реального времени.

89.Предсказывающая формула метод Эйлера с итерациями.

Предсказывающая формула вычисляет (прогнозирует) значение функции на правом конце шага:

y_k + 1 = y_k + f_k · Δt.

90.Уточняющая формула метод Эйлера с итерациями.

Уточняющая формула, используя старое значение производной (с шага 1) и уточненное с шага 2, дает уточненное значение y_k + 1: y_k + 1 = y_k + (f_k + f_k + 1) · Δt/2. Здесь же производится подсчет итераций счетчиком i: i := i + 1.

91.Предсказывающая формула метод Милна с итерациями.

По предсказывающей формуле вычисляется грубое значение y на правом конце интервала

y_k + 1 = y_k – 3 + 4/3 · (2 · f_k – f_k – 1 + 2 · f_k – 2) · Δt.

92.Уточняющая формула метод Милна с итерациями.

y_k + 1 по уточненной формуле, используя уже новое значение производной в точке k + 1: 

y_k + 1 = y_k – 1 + 1/3 · (f_k + 1 + 4 · f_k + f_k – 1) · Δt.

93.Что представляет собой критерий согласия Пирсона и каким образом его можно применять?

Существует ряд критериев согласия. Чаще применяют критерии Пирсона, Романовского и Колмогорова.

 Критерий согласия Пирсона  – один из основных: где k – число групп, на которые разбито эмпирическое распределение,   – наблюдаемая частота признака в i-й группе, – теоретическая частота. Для распределения   составлены таблицы, где указано критическое значение критерия согласия  для выбранного уровня значимости   и степеней свободы df.(или  ) Критерий согласия Пирсона используется, если объем совокупности достаточно велик  , при этом частота каждой группы должна быть не менее 5.