2.1.3 Ограниченная круговая задача трёх тел

Задача трёх тел заключается в нахождении закона относительного движения трёх материальных тел под действием взаимного притяжения. В отличии от задачи двух тел, данная задача не имеет аналитического решения и может быть решена с использованием численных методов.

Если рассматривается система трёх тел, в которой первые два тела, обладающие большей массой, движутся по круговым орбитам вокруг общего центра масс, а третье тело, обладающее сравнительно малой массой, не оказывает никакого влияния на движение двух первых тел, то задача называется ограниченной круговой задачей трёх тел. Примером такой системы тел может служить система, включающая Солнце, Землю и космический аппарат. В данном случае ограниченная круговая задача трёх тел будет описывать движение аппарата около Земли и Солнца.

Рассмотрим подробнее движение третьего тела системы, обладающее пренебрежимо малой массой, относительно первых двух тел с массами m1 и m2. Пусть два массивных тела движутся по круговым орбитам вокруг барицентра системы, а также оказывают гравитационное взаимодействие друг на друга и на третье тело, которое, в свою очередь, никакого влияние на первые два тела не имеет.

Рис. 4. Вращающаяся система координат

Первое и второе тело движутся по круговым орбитам вокруг общего барицентра со скоростью, равной по величине среднему движению n. Введём вращающуюся систему координат (рис. 4), начало которой поместим в барицентр системы, а расстояние между двумя первыми телами, которое всё время остаётся неизменным, примем за единицу. Введённая система отсчёта вращается также со скоростью n, при этом ось ОХ выбирается из расчёта, что первые два тела должны лежать на этой оси. Положение частицы определяется координатами x, y и z. Предположим, что > , т.е. первое тело обладает наибольшей массой, по сравнению с остальными телами. В новой системе отсчёта введём массы двух тел, рассчитываемые по формулам (7).

, ,(7)

И тогда .

Координаты первого тела (,0,0), второго - (,0,0). Расстояние от третьего тела системы до первого и второго тела обозначим и :

(8)

Уравнения движения в заданной системе координат примут вид (9).

(9)

- это псевдопотенциал, его можно рассчитать по формуле (10).

,(10)

где , .

U нельзя считать истинным потенциалом, лучше всего рассматривать его просто как скалярную функцию, используя которую можно вывести некоторые ускорения частицы.

Интеграл Якоби (константа Якоби) рассчитывается по формуле (11).

(11)

и представляет собой постоянную движения. - не является интегралом энергии, поскольку в рассматриваемой ограниченной задаче трёх тел ни энергия, ни момент количества энергии не сохраняются. Данная величина позволяет рассмотреть положения, в которых скорость третьего тела равна нулю.