2.6.8. Кризис в математике. Теоремы о неполноте знаний Геделя. Проблема познаваемости мира

Одновременно с физикой в 1900-1930 годах кризис охватил и такую абсолютно точную науку, как математика. Его в полной мере можно рассматривать как кризис всего формально-логического способа мышления, или даже кризис рассудка, ибо впервые была вскрыта его недостаточность. Обнаружилось, что формально-логический способ мышления при всех тех блестящих результатах, которые несет с собой его применение в частных и специальных проблемах, обнаруживает свою полную непригодность, как только его пытаются применить прямо или косвенно к отражению всеобщего, которое оказывается неизбежно противоречивым, и в силу этой противоречивости неизменно ускользает из сферы действия формально-логических законов. Это объясняло причину парадоксов, в которые погрузилось естествознание, опирающееся на точные методы.

О парадоксах формальной логики известно уже давно. Достаточно вспомнить парадокс лжеца, который заявляет: «все, сказанное мною, есть ложь». Если это высказывание истинно, то оно ложно, и в то же время, если оно ложно, то истинно. Таким образом оно противоречит «закону исключённого третьего» в двоичной логике.

Оказывается, что для любой формально-логической системы, претендующей на точность и непротиворечивость, свойственна подобная парадоксальность, приводящая к отрицанию исходных положений (постулатов, аксиом) при попытках построения глобальных обобщений. Впервые фор-

мально точно это было показано Куртом Гёделем, который в 1931 году на примере арифметики дал доказательство так называемых «теорем о непол-

ноте знаний».

Теорема 1: в любой достаточно сложной непротиворечивой теории существует истинное утверждение, которое средствами самой теории невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Теорема 2: непротиворечивость достаточно богатой теории не может быть доказана средствами этой теории. Однако вполне может оказаться, что непротиворечивость одной конкретной теории может быть установлена средствами другой, более мощной формальной теории. Но тогда встаёт вопрос о непротиворечивости этой второй теории, и т. д.

Теорема о неполноте знаний утверждает примерно следующее: при определенных условиях в любом теории (системе) существуют истинные, но

78