2.1.4 Точки либрации как частные решения ограниченной круговой задачи трёх тел

В рассмотренной выше ограниченной задаче трёх тел существует 5 положений равновесия, называемых точками Лагранжа или точками либрации. Если поместить частицу в одну из таких точек, оно будет оставаться неподвижным во вращающейся системе отсчёта, другими словами, тело будет иметь нулевые скорость и ускорение во введённой выше вращающейся системе отсчёта.

Все пять положений равновесия располагаются в плоскости движения двух массивных тел. Первые три точки Лагранжа - L1, L2, L3, лежат на прямой, соединяющей массивные тела (на оси ОХ), и называются коллинеарными точками либрации; L4 и L5 - треугольные точки либрации, они образуют равносторонний треугольник с центрами массивных тел. На рисунке 5 изображена схема, показывающая местоположение точек либрации в системе двух тел, когда первое тело намного массивнее второго.

Рис. 5. Схема расположения точек либрации в системе двух массивных тел

Чтобы определить точное положение каждой точки, предположим, что все три тела системы движутся в одной плоскости - плоскости XOY. Расстояние между первым и вторым телами остаётся равным единице, тогда средняя скорость, с которой вращается вся система координат, также равна единице.

Первая точка либрации L1 лежит между первым и вторым телом, что означает, что в этой точке:

+ , z = 0, y = 0 .

Т.е. L1 находится в точке с координатами (, 0, 0), где определяется по формуле (12).

(12)

Параметр определяется: по формуле (13).

(13)

Во второй точке либрации L2 выполняется:

- , z = 0, y = 0 .

Координаты второй точки Лагранжа - (, 0, 0), где определяется по формуле (14).

(14)

В третьей точке либрации L3:

, z = 0, y = 0 .

Тогда точные координаты L3 - (, 0, 0), где

+(15)

Координаты треугольных точек либрации L4 и L5 во вращающейся системе координат:

L4 = ,

L5 = .

В разных системах тел точки либрации могут оказаться как точками устойчивого, так и неустойчивого положения равновесия.

Если бесконечно малую частицу поместить вблизи точки либрации (предполагается, что смещение частицы от точки Лагранжа и её скорость малы) и она с течением времени будет удаляться от неё, то эта точка - положение неустойчивого равновесия. Если же частица будет продолжать колебаться около точки, то рассматриваемая точка Лагранжа - положение устойчивого равновесия.

Чтобы определить, является ли рассматриваемая точка положением устойчивого или же неустойчивого равновесия, нужно линеаризовать уравнения движения и провести линейный анализ устойчивости.

После линеаризации уравнения движения получается (16).

, (16)

где .

Уравнение (16) можно преобразовать к виду (17) или , где X - вектор-столбец, A - матрица.

(17)

Если х удовлетворяет , то х - собственный вектор матрицы А.

Характеристическое уравнение для матрицы А имеет вид (18) и сводится к виду (19).

(18)

(19)

Его четыре корня имеют вид (20) и (21):

(20)

(21)

Решение для и X, и может быть записано:

(22)

(23)

Общий вид собственных значений, определяемых уравнениями (20) и (21), следующий:

где j1, j2, k1, k2 -- вещественные числа;

Так как общее решение для компонент векторов положения и скорости относительно точки либрации (см. выражения (22) и (23)) включает линейную комбинацию членов вида , это означает, что каждому из двух членов сопутствует член . Если , решение будет периодическим, поскольку члены с и сведутся к синусам и косинусам. Однако, если значение j больше нуля, то всегда имеет место экспоненциальный рост по крайней мере одной моды, и поэтому возмущенное решение неустойчиво. Таким образом, точка либрации устойчива, если все собственные значения являются чисто мнимыми.

Для точек либрации в системе Солнце-Земля корни характеристического уравнения принимают следующие значения:

Для L1:

2.532557031610,

= 2.086391218211i.

Для L2:

2.5086891900067,

= 2.071839275836i.

Для L3:

0.00280748177874,

= 1.00000262730993i.

Для треугольных точек либрации (L4 и L5):

0.004502030054172413i,

= 0.99998986581134477i,

- 0.99998986581134477i,

- 0.00450203005417241i.

На основе этих данных можно сделать вывод, что в рассматриваемой в работе системе Солнце-Земля коллинеарные точки либрации (L1, L2, L3) являются неустойчивыми, так как корни характеристического многочлена, составленного для каждой из этих точек, содержат как мнимые, так и действительные значения. Треугольные точки в данной системе (L4, L5), напротив, являются точками устойчивого равновесия, поскольку их характеристические корни - чисто мнимые.