2.1.2 Задача двух тел

Задача двух тел описывает взаимодействие двух тел, которые движутся под действием взаимного гравитационного притяжения. Согласно закону всемирного тяготения Ньютона для двух взаимодействующих частиц с массами и справедливо соотношение (1).

(1)

F - сила притяжения частиц, G = 6.6726010-11Нм2/кг2 -- постоянная всемирного тяготения, r - расстояние между частицами. Если обозначить F1 силу, которая действует на , а F2 - силу, действующую на , то согласно третьему закону Ньютона справедливо соотношение (2).

(2)

Пусть имеется некоторая инерциальная система отсчёта с началом координат в точке О. Обозначим и радиус-векторы, проведённые из О к точкам, в которых расположены частицы с массами и . Вектор .

Рис. 2. Система двух взаимодействующих частиц

Силы взаимного тяготения, а также создаваемые ими ускорения будут равны:

= (3)

= (4)

Формулы (3) и (4) образуют закон движения двух частиц под действием взаимного притяжения. Центра масс системы либо неподвижен, либо движется прямолинейно с постоянной скоростью относительно точки О.

Если рассматривать систему двух тел, в котором одно тело намного массивнее другого - >> , например Солнце и Землю или Землю и Луну, то задача двух тел перейдёт в задачу одного притягивающего центра. В данном случае главной целью ставится найти закон движения тела с малой массой относительно тела с большей массой . Уравнения относительного движения имеют вид (5).

= 0(5)

где .

Траектория тела с массой описывается уравнением (6),

(6)

являющимся формулой конического сечения в полярных координатах. В данной формуле p - фокальный параметр конического сечения, e - эксцентриситет, - истинная аномалия, - долгота перицентра.

Рис. 3. Пример эллиптической орбиты с большой полуосью а, эксцентриситетом е и долготой перицентра . Массивное тело находится в одном из фокусов эллипса

Возможных конических сечений всего четыре - окружность, эллипс, парабола и гипербола. Отсюда происходят и типы движения тела в задаче одного притягивающего центра: движение по окружности, эллиптическое, параболическое и гиперболическое движение. Существует пятый тип движения, являющийся вырожденным случаем - прямолинейное движение.