2. Решение уравнения тяготения Эйнштейна для неоднородно распределенной темной энергии

За последние годы космология, как наука, развивается весьма большими темпами. Современное оборудование, анализ наблюдательных данных, системы оптических и радиотелескопов позволили вывести современную космологию на высокий уровень. Несмотря на это, существует большое количество проблем, связанных с аномально низкой плотностью темной энергии в рамках изотропной космологической модели Фридмана.

С помощью космологических уравнения тяготения Эйнштейна можно получить решение для неоднородно и неизотропно распределенной в пространстве материи [27] .

Рассмотрим уравнение:

. (27)

Определим квадрат интервала как:

, (28)

где ;

;

;

.

В свою очередь:

, (29)

где и .

В данном случае объект рассмотрен без вращения, что отражено в метрике. В ходе решения необходимо определить символы Кристоффеля I (См. Приложение А) и II рода (См. Приложение Б).

Далее необходимо вычислить компоненты тензора Риччи (См. Приложение В). В ходе решения были получены шестнадцать компонент: четыре диагональные и двенадцать недиагональных.

Целесообразно воспользоваться второй формой записи уравнений тяготения Эйнштейна:

. (30)

Полагаем тензор энергии - импульса равным нулю, так как рассматриваем вакуумоподобную стадию, связанную только с л - членом. Тогда:

. (31)

Следовательно:

; (32)

Из чего при можно сделать вывод, что:

. (33)

Вернемся к недиагональным компонентам. Тензоры Риччи. Из уравнений тяготения, соответствующих следует, что:

. (34)

Тогда, [27] изменяя масштаб времени, имеем:

, (35)

что равносильно М=1. С этим учетом метрика, показанная ранее, примет вид:

. (36)

В ходе рассмотрения компонент мы выявили следующую закономерность:

; (37)

. (38)

В результате получаем, что:

; (39)

где функции С и D - некоторые переменные.

Теперь рассмотрим R₁₂:

. (40)

При подстановке (39) в (40) после элементарных преобразований получаем (41):

, (41)

Следовательно:

, (42)

где U - функция некоторой переменной [28].

Теперь с учетом (42) можно рассмотреть первые три диагональных компоненты тензора Риччи. Компонента R₄₄ имеет особое значение и отличается от первых трех, поэтому она будет рассмотрена позже отдельно.

Вернемся к соотношению (33):

,

Для определения окончательной зависимости функции от пространственных координат:

Из имеем:

, (43)

При имеем:

, (44)

Из имеем:

. (45)

Подставив в (43) - (45) , последовательно имеем:

R₁₁=R₂₂

; (46)

; (47)

; (48)

; (49)

; (50)

. (51)

Подставляя (47), (48), (50) и (51) в выражение для U, получаем окончательную зависимость этой функции от пространственных координат:

(52)

Подставляя (52) в уравнения тяготения Эйнштейна для недиагональных компонент тензора Риччи, получаем:

; (53)

; (54)

; (55)

, (56)

А так как

,(57)

то:

; (58)

. (59)

Если произвести замену:

, (60)

то решением уравнения (61) будет являться выражение вида (64):

. (61)

где б и в - некоторые постоянные величины.

Решение (64) свидетельствует о следующих выводах:

1. Сингулярность отсутствует;

2. Отсутствие сингулярности влечет за собой выход на стадию инфляции,

Результаты исследования имеют теоретическое значение и могут применяться для исследования процессов на начальных стадиях эволюции Метагалактики.