2. Пространственно-временной спектр

отраженного излучения

Параксиальная динамика вдоль оси z поля E линейно-поляризованного излучения с временным спектром в диапазоне прозрачности диэлектрической однородной и изотропной среды c электронной нелинейностью может быть описана уравнением [14]

, (1)

где N₀, a, b – константы, характеризующие нерезонансную дисперсию линейного показателя преломления среды

(2)

– описывает безынерционную нелинейность ее поляризационного отклика , χ – нелинейная восприимчивость среды, с – скорость света, – поперечный лапласиан, t – время.

Граничные условия при падении параксиального излучения на границу раздела диэлектрических сред под малыми углами имеют вид [15]

, (3а)

, (3б)

где Е_inc , Е_ref и Е_tr – напряженности электрического поля падающей, отраженной и преломленной волн соответственно.

Будем полагать, что световое излучение падает на границу раздела линейная среда (характеризуемая дисперсионными параметрами N₁, a₁, b₁) – нелинейная среда (характеризуемая N₂, a₂, b₂ и нелинейным коэффициентом g) вдоль положительного направления оси z из линейной среды. Тогда для падающей, отраженной и преломленной волн выполняется:

(4)

Используя граничные условия (3), из системы (4) несложно получить связь между полем отраженного и падающего излучения вида

(5)

Уравнение (5) для пространственно-временного спектра излучения

(6)

решается в квадратурах и с учетом нерезонансной дисперсии, при которой а также малости Е_ref по сравнению с Е_inc (характерно для диэлектриков), зависимость спектра отраженного излучения G_ref от спектра падающего G_inc может быть приведена к виду

, (7)

где n₁() и n₂() – линейные показатели преломления граничащих сред,

Линеаризованное соотношение (7), как несложно проверить, эквивалентно формулам Френеля в приближении параксиального излучения, а в приближении плоской однородной волны переходит в известную нелинейную формулу для спектра, выведенную в [13].

Полезно подчеркнуть, что примененная выше техника вывода нелинейной формулы Френеля (7) позволила получить спектр отраженного излучения в зависимости от параметров спектра падающей волны без решения уравнения динамики поля в нелинейной среде. Это возможно, когда излучение в нелинейной среде априорно является однонаправленным и динамика его поля описывается укороченным уравнением с первой (а не второй) производной по продольной координате, связи которых и фигурируют в граничных условиях (3б). На возможность решения задачи об отражении без определения преломленного поля в нелинейной среде впервые, по-видимому, было указано в работе [16].