2. Статистические оценки результатов испытаний

Исходные данные

Вариант № 11

Закон распределения факторов - нормальный;

Уровень значимости гипотез - б=0.05

Погрешность - е= 0,03%

1. По результатам испытаний получено 3 выборки с заданным законом распределения по 50 результатов в каждой.

По результатам каждой из первых трех выборок определить размер представительной (репрезентативной) по критерию оценки математического ожидания выборки.

Условие выполняется, принятый размер выборки (n) не удовлетворяет решению задачи и должен быть увеличен размер выборки (с 8 до 19).

Условие выполняется, принятый размер выборки (n) не удовлетворяет решению задачи и должен быть увеличен размер выборки (с 19 до 22).

Условие выполняется, принятый размер выборки (n) не удовлетворяет решению задачи и размер выборки дальше не может быть увеличен.

Проверить равноточность результатов испытаний.

где F_p,f1,f2 - табличное значение критерия Фишера для вероятности и чисел степеней свободы.

Так как выполняется условие для этих выборок, гипотеза равноточности двух (2,3 в соответствии с 1) рядов результатов испытаний принимается.

4. Проверить значимость различия средних значений результатов испытаний. Проверку статистической гипотезы выполнить для второй, третьей, четвертой выборок в сопоставлении с первой.

При выполнении условия tt_p,f, различие средних значений двух рядов (2 ряда относительно 1 ряда) результатов испытаний незначимо. Это условие не выполняется для 2 ряда в сопоставлении с 1 рядом.

5. Проверить нормальность распределения результатов испытаний. Проверку статистической гипотезы выполнить для всех выборок. Для проверки гипотезы использовать критерий Пирсона и критерий Колмогорова. Приняв объем выборки равным 50, осуществить проверку статистической гипотезы, рассчитав коэффициенты асимметрии и эксцесса.

Определим шаг интервалов:

Определим границы интервалов:

Определим частоту и середину интервалов:

Для определения вероятности p_i попадания значений случайной величины в i-й интервал для нормального закона распределения, необходимо найти Функцию Лапласа:

Вероятности p_i попадания значений случайной величины в i-й интервал для нормального закона распределения можно определить по формуле:

Определим Функции Лапласа по таблице:

Тогда вероятности попадания случайной величины:

Гипотеза о принятом типе закона распределения принимается на данном уровне значимости p, если ч²<ч²_1-p, где ч²_1-pопределяются по таблице для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы f. Если ч²>ч²_1-pделается вывод, что гипотеза не согласуется с выборочным законом распределения.

Для 1,2,3 гипотеза согласуется с выборочным законом распределения.

Для определения функции распределения, запишем еще раз средние значения интервалов.

Определим по таблице значения Функции Лапласа для этих выражений:

Обозначим генеральную функцию распределения как DX

Обозначим выборочную функцию распределения как Fxx

Для применения критерия Колмогорова необходимо определить наибольшее абсолютное отклонение выборочной функции распределения F_n (x) от генеральной F (x):

Затем вычисляется величина л:

Так как вычисленные значения л меньше табличного л_1-р, то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F (x) с выборочным F_n (x) не отвергается.

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса:

Распределения этих оценок сложны и мало изучены. Однако известны дисперсии этих величин:

Выборки удовлетворяют условию:

Поэтому наблюдаемое распределение можно считать нормальным.

В процессе работы были выполнены следующие действия:

1. По результатам каждой из трех выборок не был определен размер представительной (репрезентативной) по критерию оценки математического ожидания выборки (n) не удовлетворяет решению задачи.

2. Была проверена равноточность результатов испытаний. Для решения задачи было использовано дисперсионное отношение оценок большей дисперсии к меньшей (коэффициент Фишера) F=/ . Проверка гипотезы сводится к проверке неравенства F? . Так как выполняется условие для всех выборок, гипотеза равноточности двух рядов (2,3 рядов относительно 1 ряда) результатов испытаний принимается.

3. Была проверена значимость различия средних значений результатов испытаний. При выполнении условия , различие средних значений двух рядов (относительно 1 ряда) результатов испытаний незначимо.

4. Была проверена нормальность распределения результатов испытаний. Гипотеза о принятом типе закона распределения принимается на данном уровне значимости p, если, где (критерий Пирсона) определяются по таблице для выбранного уровня значимости и числа степеней свободы f. Если делается вывод, что гипотеза не согласуется с выборочным законом распределения. Для 1,2,3 рядов гипотеза согласуется с выборочным законом распределения. Так как вычисленные значения л (критерия Колмогорова) меньше табличного, то гипотеза о совпадении теоретического закона распределения F (x) с выборочным F_n (x) не отвергается. Выборки удовлетворяют условию поэтому наблюдаемое распределение можно считать нормальным.