II. Методика решения задач по теме “Определение расстояний до планет и размеров планет. Определение расстояний до звезд и физических характеристик звезд”

Методику решения задач по теме “Определение расстояний до планет и размеров планет. Определение расстояний до звезд и физических характеристик звезд” продемонстрируем на решении типовых задач.

Задача 1. Экваториальный горизонтальный параллакс Солнца равен 8,8. Определить расстояние от Солнца до Земли (в млн. км.).

Решение: Дано: p_о⊙ = 8,8. Найти: _⊙.

Воспользуемся формулой (З):  = (R_о/p_о)206265.

206265  2,0610⁵; R_о = 6378км;

_⊙ = 63782,0610⁵/8,8 = 1,49310⁸ км.

Ответ: Расстояние от Солнца до Земли _⊙ = 1,49310⁸ км.

Задача 2. Видимый угловой радиус Солнца 16, экваториальный горизонтальный параллакс Солнца 8,8. Определить линейный радиус Солнца в радиусах Земли R_о и в километрах.

Решение: Дано: _⊙ = 16', p_о⊙ = 8,8. Найти: r_⊙.

Для решения задачи воспользуемся формулой (5): r = R_о/p_о.

r_⊙ = R_о_⊙/p_о⊙, _⊙ = 16' = 960, R_о = 1, R_о = 6378 км.

r_⊙ = 1(960/8,8) = 1109 = 109R_о; r_⊙ = 6378109 = 695202 км.

Ответ: r_⊙ = 109R_о  6,9510⁵ км.

Задача 3. Годичный параллакс Сириуса 0,375. Определить расстояние до Сириуса в парсеках, астрономических единицах и световых годах.

Решение: Дано:  = 0,375. Найти: r(пк, а.е., с.г.).

Для решения задачи воспользуемся формулой (8): r(пк) = 1/.

r(пк) = 1/0,375 = 2,67 пк.

Вспоминаем, что1 пк = 206265 а.е. = 3,26 с.г. Тогда:

r = 2,67206265 = 550728 а.е.; r = 2,673,26 = 8,7 с.г.

Ответ. Расстояние до Сириуса r = 2, 67 пк = 550728 а.е. = 8,7 с.г.

Задача 4. Гендерсон определил параллакс звезды  Центавра и получил значение ₁ = 1,16. Современное определение параллакса этой звезды ₂ = 0,754. Какова ошибка Гендерсона в определении расстояния до  Центавра?

Решение: Дано: ₁ = 1,16, ₂ = 0,754. Найти: r₁/r₂.

Для решения задачи воспользуемся соотношением (8): r(пк) = 1/.

r₁ = 1/₁, r₂ = 1/₂, отсюда r₁/r₂ = ₂/₁ = 0,754/1,16 = 0,65.

Ответ. Гендерсон “преуменьшил” расстояние до звезды  Центавра в 0,65 раза.

Задача 5. Во сколько раз видимая яркость Солнца больше видимой яркости самой слабой из наблюдаемых в телескоп звезд, если видимая звездная величина Солнца -26^m,8, а видимая звездная величина звезды +30^m,2?

Решение: Дано: m_⊙ = -26^m,8, m_* = +30^m,2. Найти: E_⊙/E_*.

Используем для решения формулу Погсона (9): lg(E_i/E_j) = 0,4(m_j - m_i).

lg(E_⊙/E_*) = 0,4(30,2 + 26,8) = 22,8.

E_⊙/E_* = 6,310²².

Ответ. Видимая яркость Солнца больше видимой яркости самой слабой из наблюдаемых в телескоп звезд в 6,310²² раз!

Задача 6. Видимая величина одной звезды -1^m,62, расстояние до нее 0,347, видимая величина второй звезды +4^m,77, расстояние до нее 0,002. Во сколько раз отличаются светимости и видимые яркости этих звезд?

Решение: Дано: m₁ = -1^m,62, m₂ = +4^m,77, ₁ = 0,347, ₂ = 0,002. Определить: E₁/E₂, L₁/L₂.

а) Для определения отношения видимых яркостей (а уже по значению m₁ и m₂ можно сказать, что E₁ > E₂) воспользуемся формулой Погсона (9): lg(E_i/E_j) = 0,4(m_j - m_i).

lg(E₁/E₂) = 0,4(4,77 +1,62) = 2,556; E₁/E₂ = 359,7.

в) Для определения отношения L₁/L₂ воспользуемся формулой Погсона в виде: lg(L₁/L₂) = 0,4(M₂ - M₁), где M₁ и M₂ абсолютные звездные величины первой и второй звезд соответственно. M₁ и M₂ определим по формуле (12): M - m = 5 + 5lg.

M₁ = m₁ + 5 + 5lg₁ = -1,62 + 5 + 5lg0,347 = +1^m,08.

M₂ = m₂ + 5 + 5lg₂ = +4,77 + 5 + 5lg0,002 = -3^m,72.

lg(L₁/L₂) = 0,4(M₂ - M₁) = 0,4(-3,72 - 1,08) = -1,92,

L₁/L₂ = 0,012, или L₂/L₁ = 83.

Ответ: E₁/E₂ = 359,7, L₂/L₁ = 83. Видимая яркость первой звезды больше видимой яркости второй звезды приблизительно в 360 раз, однако светимость второй звезды больше светимости первой звезды в 83 раза!

Задача 7. Видимая звездная величина звезды +8^m,14, расстояние до нее 28000 пк. Какова светимость звезды?

Решение: Дано: m_* = +8^m,14, r_* = 28000 пк. Найти: L_*.

Для решения задачи воспользуемся соотношениями (16) и (12):

lgL_* = 0,4(M_⊙ - M_*), M_* - m_* = 5 - 5lgr_*(пк).

M_* =+8,14 +5 - 5lg28000 = 13,14 - 54,4472 = -9^m10.

Чтобы найти M_⊙, вспомним, что расстояние от Земли до Солнца и видимая звездная величина Солнца равны соответственно:

_⊙ = r_⊙ = 1 а.е. = (1/206265) пк, m_⊙ = -26_⊙,87.

Отсюда:

M_⊙ = m_⊙ + 5 – 5lg(1/206265) = -26,87 + 5 + 26,57 = +4^m,70.

lgL_* = 0,4(M_⊙ - M_*) = 0,4(4,70 + 9,10) = 5,52.

L_* = 331131.

Ответ: Светимость звезды L_*= 331131, то есть светимость звезды в 331131 раз больше светимости Солнца.