Космологические модели Вселенной Эйнштейна и Фридмана. Космологический принцип.

Знаменитые уравнения тяготения Эйнштейна представляют собой систему из десяти дифференциальных уравнений в частных производных. Грубо говоря, они показывают, как распределение масс в пространстве влияет на кривизну этого пространства. Иными словами, они показывают, как метрика пространства зависит от распределения и движения масс и как, в свою очередь, та же метрика определяет движение вещества.

Из-за чисто математических трудностей система уравнений Эйнштейна не поддавалась общему решению. Приходилось идти на различные упрощения.

Те, кто учился и работал рядом с Фридманом, часто вспоминают его любимое присловье: «А нельзя ли здесь чего-нибудь откинуть?» Не с этих ли позиций подошел он к решению уравнений Эйнштейна? Впрочем, он не откидывал лямбда-члена системы Эйнштейна, он просто решал уравнения. Оказалось что при этом возможно множество решений. Особенно интересен случай при λ=0. Решение это настолько интересно, что стоит остановиться на нем поподробнее.

В своей первой работе А. Фридман сохранил все предположения Эйнштейна, за исключением стационарности, и исследовал получившиеся нестационарные однородные изотропные модели с замкнутым пространством постоянной положительной кривизны. При этом ему удалось в отличие от Эйнштейна получить нетривиальные решения уравнений и без космологического члена. Что же представляли собой теоретические модели, полученные петроградским математиком?

Прежде всего они были нестационарны. Радиус кривизны и плотность вещества во вселенной менялись со временем. И от того, какой величины выбрать среднюю плотность, зависела судьба модели мира.

Вселенная Эйнштейна

До Эйнштейна никто не сомневался, что Вселенная изотропна, однородна, геометрия пространства которой евклидова. Однако в дальнейшем, анализ данной модели выявил существенные недостатки, впоследствии названные «космологическими парадоксами». Теория тяготения Ньютона подверглась пересмотру. Общая теория относительности Эйнштейна раскрыла связь между тяготением, пространством и временем. Она открыла дорогу к созданию научно обоснованных космологических моделей. Сам Эйнштейн не смог пройти мимо такой задачи, понимая всю ее значимость.

В ОТО Эйнштейн показал, что тяготение можно трактовать как проявление искривления пространства-времени под действием вещества. Поэтому наиболее естественным было отказаться от евклидовости пространства Вселенной. Эйнштейн отказался, сохранив при этом положения о стационарности и однородности Вселенной.

Итак, Эйнштейн, поставив себя выше Бога, на основе своего уравнения тяготения, где левая часть характеризует геометрию пространства-времени, а правая вещества, предпринял попытку построить статичную, вечную и неизменную во времени модель Вселенной. Но оказалось, что его уравнения несовместимы с представлением о статичной Вселенной. Такого решения уравнений просто не существует, а, следовательно, Вселенная не может быть стационарна.

Эйнштейн, придерживаясь своих взглядов относительно наиболее общих черт Вселенной, решил, основываясь на своей интуиции, ввести в левую часть своего уравнения новое слагаемое лямбда-член Λgij. В этом случае можно получить решение, соответствующее условиям однородности и статичности Вселенной. Параметр Λ называют космологической постоянной.

Итак, Вселенная оказалась замкнутой трехмерной сферой.

Эйнштейн построил первую истинно научную космологическую модель мира. Модель стационарной неевклидовой сферической Вселенной не противоречит традиционным взглядам, и поэтому была приемлема для того времени во всех отношениях. Может ли быть модель прекраснее модели конечной, но безграничной, существующей вечно и неизменно, с одним и тем же радиусом Вселенной?

Однако нашелся человек, не побоявшийся выйти за рамки всеобщих представлений. Им оказался математик А.Фридман, который совершил переворот в космологии, создав модель эволюционирующей Вселенной.

Нестационарная космология Фридмана.

Фридмана как математика не удовлетворило полученное решение Эйнштейна, так как он получил одно из всех возможных решений системы уравнений тяготения, заранее навязав требование статичности. Фридман же решил получить все возможные решения данных уравнений. Он принял точку зрения Эйнштейна относительно наиболее общих черт пространства Вселенной или разумности космологических принципов, но отверг взгляд Эйнштейна относительно абсолютности стационарности Вселенной. По его мнению, сами уравнения должны дать ответ на этот вопрос, достаточно лишь воспользоваться космологическим принципом.

Существуют три модели Фридмана. Далее считаем, что Λ =0.

Друг от друга они отличаются тем, что в них различным образом от времени зависят радиус кривизны Вселенной и расстояния между точками в пространстве

Качественно эти зависимости представлены на рис. 1,а соответствует модели закрытой Вселенной, характеризуемой положительной кривизной. В силу однородности Вселенной ее кривизна является величиной постоянной, не изменяющейся при переходе от одной точки пространства к другой. Следовательно, пространство представляет собой замкнутую трехмерную сферу, подобную стационарной модели Эйнштейна. Поэтому объем пространства Вселенной конечен. Однако радиус сферы в данном случае изменяется во времени. Вселенная начинает свою жизнь в некий нулевой момент времени со сферы нулевого радиуса, т.е. с точки. Далее радиус растет до максимального значения, а затем уменьшается до превращения Вселенной вновь в точку. Точку в момент времени t=0 можно назвать «началом» Вселенной. Все выглядит так, как будто при t=0 произошло сотворение мира, или точнее, произошло рождение пространства и времени. При этом плотность вещества Вселенной в момент ее рождения была бесконечной.

Модель Фридмана, где Вселенная появляется из «точки» в некий момент времени t=0 и сразу начинает расширяться неограниченно во времени, называют открытой моделью Вселенной (рис. 1б). Пространство в данном случае обладает отрицательной кривизной, следовательно, бесконечно. Расширение в данном случае следует понимать в том смысле, что расстояние между любыми двумя точками пространства, хотя оно и бесконечно, все время возрастает. Другими словами, все точки пространства убегают друг от друга, оставаясь полностью равноправными в любой момент времени. Отсутствие выделенных точек пространства - следствие его однородности. Расширение началось сразу из всех точек пространства. Понимание этого усложняется тем, что все пространство в начале расширения следует считать бесконечным.

В третьей модели Фридмана Вселенная также расширяется неограниченно во времени, но пространство всегда остается евклидовым, т.е. плоским. Эту наипростейшую модель из всех трех Фридман, по-видимому, сам не рассматривал. Впервые ею воспользовались в 1932 году Эйнштейн и де Ситтер.

Таким образом, теория разрешает существование трех различных моделей Фридмана. Каждой из них соответствуют свое решение уравнения тяготения ОТО. В это уравнение при его применении ко всей Вселенной входит некий параметр ρк, называемый критической плотностью. Ее величина зависит от времени. Если соответствующая данному моменту времени реальная плотность вещества Вселенной больше ρк. То реализуется закрытая модель трехмерной сферы, т.е. вещества во Вселенной достаточно, чтобы замкнуть само на себя. Если ρ>ρк, то Вселенная открыта, а ее кривизна отрицательна, т.е. вещества во Вселенной недостаточно, чтобы замкнуть само на себя.

При условии ρ= ρк имеет место открытая модель Эйнштейна - де Ситтера.

Число моделей не ограничивается четырьмя, которые мы рассмотрели. На какой же модели сделала свой выбор Природа? Ответ на этот вопрос, хотя и частичный, был получен в 1929 году Эдвиным Хабблом. Он сумел доказать, что Вселенная расширяется.

Космологический принцип

Современная космологическая теория базируется на следующем основном положении, называемом космологическим принципом: каждый наблюдатель в один и тот же момент времени, независимо от места и направления наблюдения обнаруживает во Вселенной одну и ту же картину. Независимость от места наблюдений, т.е. равноправие всех точек пространства, носит название однородности, независимость от направления, т.е. отсутствие выделенного направления в пространстве — изотропии Вселенной. Отсутствие изотропии называется анизотропией. Очевидно, отсутствие однородности влекло бы за собой анизотропию, тогда как отсутствие изотропии не обязательно приводит к неоднородности

В явном виде однородность и изотропию Вселенной первым предположил Альберт Эйнштейн в 1917 году, но своими корнями космологический принцип восходит к немецкому философу Николаю Кузанскому (рис. 2.2.2), который еще в XV веке утверждал: "Вечно движущаяся Вселенная не имеет ни центра, ни окружности, ни верха, ни низа, она однородна, в разных частях ее господствуют одинаковые законы." Ему же принадлежит знаменитый афоризм "Вселенная есть сфера, центр которой всюду, а окружность нигде", которое часто неверно приписывают Джордано Бруно или Паскалю, всего лишь повторившим изречение Кузанца

Этот принцип выполняется лишь приближенно. Действительно, галактики, звезды, планеты, наконец, живые существа являются отклонениями от однородности Вселенной, поскольку их существование означает, что физические условия в разных точках различны. Однако отклонения от однородности и изотропии не очень важны, если мы перейдем к очень большим масштабам, превышающим примерно несколько сотен миллионов световых лет. Если мы возьмем куб с ребром такого размера, то число звезд и галактик внутри него окажется примерно одинаковым, в какую бы часть Вселенной мы этот куб не поместили. В видимой части Вселенной может поместиться несколько тысяч таких кубов. Это значит, что в больших масштабах Вселенная однородна и изотропна, в согласии с космологическим принципом.

Уже непосредственно из космологического принципа следуют некоторые важные выводы относительно строения Вселенной. Например, Вселенная как целое не должна вращаться (поскольку ось вращения была бы выделенным направлением), у нее не должно быть центра и пространственной границы (иначе нарушалось бы условие однородности Вселенной). Вообще, главный вывод, вытекающий из космологического принципа, это безграничность Вселенной. Можно сказать, что это утверждение является определением самого понятия “Вселенная”.