3. Анализ погрешностей астроориентатора

Перейдем к анализу погрешностей рассматриваемого метода определения координат. Если полагать, что значения функций sin h₁ и sin h₂ определены точно, то путем решения системы уравнений (8), в принципе, можно определить координаты и S с любой, наперед заданной, точностью. Если же путем измерений получены значения функций sin H₁ и sin H₂, то в БЦВМ будут найдены координаты Ф и , являющиеся решениями системы

sin H₁ = sin ₁ sin Ф + cos ₁ cos Ф cos ( ₁);

sin H₂ = sin ₂ sin Ф + cos ₂ cos Ф cos ( ₂)

при условии, что значения углов склонений и прямых восхождений пеленгуемых звезд известны с приемлемой точностью.

Вычитая из системы уравнений (21) уравнения (8), находим:

D₁ = sin H₁ sin h₁ = (sin Ф sin ) sin ₁ + + [cos Ф cos ( ₁) cos cos (S ₁) ] cos ₁;

D₂ = sin H₂ sin h₂ = (sin Ф sin ) sin ₂ + (22)

+ [cos Ф cos ( ₂) cos cos (S ₂) ] cos ₂ .

Представим найденные из (21) координаты в виде Ф = + ; = S + S, где и S погрешности в вычислении координат.

Из (22) с точностью до величин второго порядка малости имеем

D₁ = [sin ₁ cos cos ₁ sin cos (S ₁) ]

cos ₁ cos sin (S ₁) S;

D₂ = [sin ₂ cos cos ₂ sin cos (S ₂) ]

cos ₂ cos sin (S ₂) S . (23)

Выражения (23) можно рассматривать как систему уравнений относительно переменных и S. Разрешая эту систему, получаем

, (24)

где W определяется выражением (10).

Совокупность формул (24) позволяет на уровне первого приближения найти погрешности в определении углов и S, вызванные погрешностями в определении величин sin h₁ и sin h₂.

Получим формулы для определения величин D₁ и D₂. При этом рассмотрим влияние на погрешности в определении значений sin h₁ и sin h₂ таких факторов, как неточное построение вертикали, наличие погрешностей фотоследящих систем и датчиков углов, установленных на осях подвесов телескопов. Положим первоначально, что фотоследящие системы обеспечивают точное слежение и что датчики углов _1;2 и _1;2 идеальны, но вертикаль построена с погрешностями.

Будем считать, что отклонение платформы построителя от плоскости горизонта определяется углами ₁ и ₁, а для ортов горизонтного платформенного базиса сохраним обозначения i₁₀, j₁₀, k₁₀. Матрица направляющих косинусов между базисом i₁, j₁, k₁ и построенным платформой базисом i₁₀, j₁₀, k₁₀. доопределяется выражением

(25)

Поскольку углы ₁ и ₁ характеризуют отклонение плоскости платформы от горизонта, за счет поворота по осям внутренней и наружной рамок подвеса, их можно принять малыми и считать

; . (26)

Используя (25) и (26), находим:

J = j₁₀ i₁₀₁ + k_{10 1}, cos . (27)

В осях трехгранника i₁₀, j₁₀, k₁₀ при условии, что светила запеленгованы, векторы q₁₁ и q₂₂ представим так:

q ₁₁ = S₁₁ = i₁₀ cos h₁ cos _1к + j₁₀ sin h₁ + k₁₀ cos h₁ sin _1к ;

q ₂₂ = S₂₂ = i₁₀ cos h₂ cos _2к + j₁₀ sin h₂ + k₁₀ cos h₂ sin _2к ,

где _1к, _2к курсовые углы звезд в осях платформы построителя при его горизонтальном положении.

Теперь, используя (26) и (27), найдем следующие скалярные произведения:

j₁ · q ₁₁ = sin h_{1 1} cos h₁ cos _1к + ₁ cos cos h₁ sin _1к ;

j₁ · q ₂₂ = sin h_{2 1} cos h₂ cos _2к + ₁ cos cos h₂ sin _2к .

В осях трехгранника i₁, j₁, k₁ имеем

j₁ · q ₁₁ = sin ₁; j₁ · q ₂₂ = sin ₂ . (30)

D₁₁ = sin ₁ sin h₁ = ₁ cos h₁ cos _1к + ₁ cos cos h₁ sin _1к (31)

D₂₁ = sin ₂ sin h₂ = ₁ cos h₂ cos _2к + ₁ cos cos h₂ sin _2к .

Выражения (31) позволяют найти величины D₁ и D₂, обусловленные погрешностями построителя вертикали.

Получим теперь выражения для величин D₁₂ и D₂₂, характеризующих погрешности в определении функций sin h₁ и sin h₂, вызванные погрешностями фотоследящих систем (ФСС) и датчиков углов. Качественно эта группа погрешностей приводит к тому, что либо от оптической оси соответствующего телескопа не совпадает с линией направления на светило, либо при совпадении этих ортов, сдатчиков углов снимаются сигналы об углах и , не соответствующих действительному положению оптической оси.

Представим орты оптических осей телескопов так:

q₁₁ = S₁₁ + q₁₁; q₂₂ = S₂₂ + q₂₂ , (32)

где векторы q₁₁ и q₂₂ характеризуют погрешности, вызванные погрешностями фотоследящих систем и датчиков углов. Умножая (32) скалярно на /₁₀, находим

j₁ · q₁₁ = sin h₁ + j₁₀ · q₁₁ ;

j₁ · q₂₂ = sin h₂ + j₁₀ · q₂₂ .

В свою очередь, проекции векторов g₁₁ и g₁₁ на ось j₁₀ можно представить в виде

j₁₀ · q₁₁ = ₁ cos h₁, j₁₀ · q₂₂ = ₂ cos h₁ ,

где ₁,₂ суммарные углы, обусловленные как погрешностями ФСС, так и погрешностями датчиков углов ₁,₂;

₁ = ₁₁ + ₁₂; ₂ = ₂₁ + ₂₂,

где ₁₁; ₂₁ погрешности соответствующих фотоследящих систем; ₁₂; ₂₂ погрешности датчиков углов.

Запишем теперь выражения (33) в виде

j₁₀ · q₁₁ = sin h₁ + (₁₁ + ₁₂) cos h₁; (34)

j₁₀ · q₂₂ = sin h₂ + (₂₁ + ₂₂) cos h₂.

Учитывая, что в алгоритме вычисления координат используется информация о функциях j₁₀ · q₁₁ = sin H₁; j₁₀ · q₂₂ = sin H₂, представим (34) так:

D_1,2 = sin H₁ sin h₁ = (₁₁ + ₁₂) cos h₁; (35)

D_2,2 = sin H₂ sin h₂ = (₂₁ + ₂₂) cos h_{2 .}

Выражения (35) позволяют найти величины D₁₂ и D₂₂. Используя полученные формулы, по (24) можно оценить влияние погрешностей построителя вертикали, ФСС и датчиков углов на погрешности определения координат или оценить совокупное влияние этих факторов.

Отметим одно важное обстоятельство, которое следует принимать во внимание при оценке погрешностей по выражениям (24). Поскольку входящие в (24) частные производные и якобиан W зависят от района полета JlA, то и численные значения погрешностей определения координат при постоянных D₁,₂ будут зависеть от координат точки места. В частности, приняв, что D₁ = D₂ = D, из (24) получаем

. (36)

Подставляя в последние равенства выражения для частных производных и якобиана из (15) и (11) находим, что

(37)

(38)

Из (38), в частности, следует, что в особой точке системы уравнений (8) при = /2 выражение для погрешности S также имеет точку разрыва. Этот результат отражает тот факт, что в окрестностях особой точки уравнений (8) определение координаты S будет выполняться с существенными погрешностями, а в самой особой·точке определение этой координаты вообще теряет смысл.

Таким образом, можно заключить, что рассматриваемый метод определения координат имеет ограничения на применение, связанные с районами полета JlA. При полетах в окрестностях географических полюсов следует либо отказываться от определения координаты S, либо переходить на определение координат точки места в другой координатной сетке, например ортодромической.

Помимо рассмотренных погрешностей определения координат, вызванных неточным определением величин sin h₁ и sin h₂, на точность их определения повлияют погрешности выбранного численного метода решения системы уравнений (8) и погрешности, вызванные представлением чисел в БЦВМ в разрядной сетке конечной длины. Аналитическое рассмотрение влияния этой группы погрешностей на погрешность определения координат, как правило, выполнить не удается. Оценить влияние указанных факторов можно путем моделирования на универсальной ЭЦВМ. При этом составляется программа решения системы уравнений (8) тем методом, который предполагается использовать в бортовой ЦВМ и решение задачи выполняется при представлении в ЭЦВМ чисел в разрядной сетке различной длины. Влияние такого фактора, как представление в БЦВМ чисел с фиксированной запятой, также может быть учтено программой.

Математическое моделирование на ЭЦВМ позволяет более глубоко и всесторонне выполнить исследование погрешностей определения координат. Так, можно отказаться от использования при оценке погрешности выражений, справедливых лишь в первом приближении, выполнить моделирование с учетом статистических характеристик погрешностей построителя вертикали, фотоследящих систем и т.д.

Вместе с тем формульные соотношения для оценок погрешностей, полученные выше, не теряют своего значения, так как позволяют на этапе предварительного анализа выявить, какие из факторов оказывают наиболее существенное влияние, и тем самым более компактно сформулировать задачу математического моделирования на ЭЦВМ. Кроме того, аналитические формулы могут быть использованы для контроля результатов расчетов на ЭЦВМ.

Рассмотрим возможные алгоритмы определения курса летательного аппарата. Задача в этом случае сводится к вычислению азимута одной из пеленгуемых звезд и к последующему определению курса с использованием сигнала датчика курсового угла этой звезды. Причем, если в случае установки астросекстантов на построителе вертикали сигнал о курсовом угле звезды, определенном в осях платформы построителя, может быть получен непосредственно с соответствующего датчика, то при установке секстантов «на корпусе» JlA сигналы датчиков углов _1,2 должны быть подвергнуты обработке по определенному алгоритму с целью получения информации о курсовом угле. Таким образом, алгоритм определения курса в общем случае содержит две основные части: алгоритм вычисления азимута и алгоритм вычисления курсового угла.

При вычислении азимута может быть использован алгоритм, рассмотренный в разд. 3 применительно к горизонтальному астрокомпасу

 (39)

Поскольку углы и S вычислены при решении задачи определения координат, а значение cos h можно вычислить по формуле , то по (39) достаточно определить знаки функций cos А_C и sin A_C и по сочетанию этих знаков отнести угол A_C к определенной четверти. Величина же угла А_C в этой четверти определяется путем вычисления функции

, (40)

при значениях аргумента от 0 до /4 либо функции

, (41)

при аргументе, изменяющемся от /4 до /2.

Анализ погрешностей определения угла азимута по алгоритмам (40) и (41) может быть выполнен с использованием формул (81), (82). При этом величины S определяются из выражений (24).

Алгоритм вычисления курсового угла светила при установке астросекстантов на корпусе летательного аппарата строится следующим образом. В осях базиса i_с; j_с; k_c единичный вектор оптической оси секстанта q₁₁ представляется так:

q₁₁ = i_c cos ₁ sin ₁ + i_c sin ₁ + k_c sin ₁ cos ₁.

В осях платформенного базиса i₁; j₁; k₁ тот же вектор можно представить в виде

q₁₁ = i₁ cos _1к cos H₁ + j₁ sin H₁ + k₁ sin _1к cos Н₁ ,

где _1к -- курсовой угол светила в осях платформы построителя вертикали.

Матрицу направляющих косинусов между связанным и платформенным базисом представим так:

,

где матрицы [₂] и [₂] имеют вид

; ,

₂, ₂ углы, информация о которых снимается с датчиков углов платформы.

Имеет место следующее матричное равенство:

(42)

Используя (42), получаем

. (43)

Совокупность равенств (43) либо выражение (44) позволяют вычислить курсовой угол светила в осях платформы и могут рассматриваться как алгоритм его вычисления.

Выражения для оценки погрешностей в определении курсового угла, которые, прежде всего, будут зависеть от погрешностей построителя вертикали, получим следующим образом.

Для случая, когда построитель вертикали идеален, (42) можно представить в виде

, (45)

где h₁ и _к значения угла высоты и курсового угла светила, определяемые при отсутствии погрешностей построителя вертикали.

Равенство (42) запишем так:

. (46)

Вычитая из (46) выражение (45), получаем

. (47)

В свою очередь,

q₁₁ = cos H₁ cos ₁ cos h₁cos _к;

q₁₂ = sin H₁ sin h₁ ; (48)

q₁₃ = cos H₁ sin ₁ cos sin _к .

Теперь из (48) нетрудно получить следующие, справедливые с точностью до величин второго порядка малости относительно q₁₃, выражения для оценки погрешностей.

sin ₁ sin _к = ( q₁₃ q₁₂ sin h₁ sin _к) sec h₁;

cos ₁ cos _к = ( q₁₁ + q₁₂ sin h₁ cos _к) sec h₁. (49)

В формулах (49) величины q определяются по (47) и являются функциями погрешностей построителя вертикали.

Курс летательного аппарата по вычисленным значениям углов азимута и курсового угла светила определяется так:

= А_C + _к ,

если используется построитель вертикали, платформа которого не имеет азимутальной оси. Если используется курсовертикаль, например, со свободной в азимуте ориентацией платформы.

 = А_C + _к + ₂ , (50)

где ₂ угол поворота платформы относительно корпуса в азимутальной плоскости, информация о котором поступает с датчика угла, установленного на вертикальной оси подвеса платформы.

В том случае, когда в курсовертикали обеспечивается ориентация осей платформы по странам света, должно выполняться равенство

звезда астроориентатор алгоритм координата

А_C + _к = ₂ . (51)

Если (51) не выполняется, то этот факт можно рассматривать как свидетельство наличия азимутального дрейфа платформы курсовертикали и, сформировав сигнал ₂ = ₂ (A_C + _к), скорректировать ее азимутальную ориентацию.