2.1.4. Теория движения исз

С математической точки зрения задача о движении искусственного спутника Земли, как и задача о движении любого естественного объекта Солнечной системы, является задачей Коши. Движение описывается обыкновенными дифференциальными уравнениями с начальными условиями.

Обычно движение искусственного спутника Земли представляется как движение материальной частицы бесконечно малой массы в поле тяготения центрального тела с массой под действием сил, определенных потенциальной функцией, и совокупности не потенциальных сил. В этом случае дифференциальные уравнения движения частицы в прямоугольной инерциальной системе координат, связанной с центральным телом, можно записать следующим образом:

с начальными условиями

Количество действующих на движение ИСЗ возмущающих сил весьма велико. К силам, имеющим потенциал, относятся все силы гравитационной природы. Это влияние не сферичности Земли, возмущения, связанные с приливными деформациями Земли, а также влияние Луны и Солнца. К силам, не имеющим потенциала, относится сила сопротивления атмосферы. Сила светового давления на искусственный спутник Земли для большинства объектов является разрывной функцией времени. Ее непрерывная аппроксимация, содержащая функцию тени, также является не потенциальной, хотя сама по себе сила радиационного давления имеет потенциал [10].

Как аналитический, так и численный подходы к решению уравнений небесной механики основаны на приближении решений отрезками каких-либо рядов, однако в построении этих решений есть принципиальная разница.

Аналитический подход позволяет строить ряды, аппроксимирующие решение на значительных интервалах времени от одного до нескольких тысяч оборотов объекта. Кроме того, очень существенно, что аналитическая аппроксимация хотя и может зависеть от типа орбиты, но никогда напрямую не связана с начальными условиями уравнений движения. В связи с этим аналитическую аппроксимацию можно считать общим решением. И именно поэтому аналитические методы иногда называют методами общих возмущений.

Главная трудность при аналитическом подходе состоит в представлении правых частей уравнений движения в виде явных функций времени. Это достигается путем разложения возмущающей функции в ряд пуассоновского типа. Сложность построения точных аналитических аппроксимаций решения уравнений (12) приводит к тому, что более или менее общее решение, приемлемое для различных типов орбит, построить практически невозможно и применение каждой отдельной теории движения ограничено конкретным классом орбит.

Чтобы решить задачу, необходимо для начала четко себе ее представить.

Предположим, всеми правдами и неправдами нам удалось заполучить двумерный участок безвоздушного пространства с находящимися в нем телами. Все тела перемещаются под действием сил гравитации. Внешнего воздействия нет.

Необходимо построить процесс их движения относительно друг друга. Простота реализации и красочность конечного результата послужат стимулом и наградой. Освоение Питона будет хорошей инвестицией в будущее.

Введем систему координат.

Пусть система состоит из двух тел:

1. массивной звезды массой М и центром ;

2. легкой планеты массой m, с центром в точке , скоростьюи ускорением.

После разбора данного случая, студент легко перейдет к сложным системам со взаимным влиянием звезд и планет друг на друга.

Согласно Второму закону Ньютона:

(14)

(15)

Это позволяет составить алгоритм перемещения планеты в поле гравитации звезды:

1. Перед началом задается начальное положение планеты и начальную скорость

2. На каждом шаге вычисляется новое ускорение по формуле выше, после этого пересчитываем скорость и координаты:

(16)

(17)

(18)

(19)