2. Алгоритмы определения координат и курса по информации о высотах двух звезд

Если путем измерений определены высоты двух звезд или функции этих углов, то, используя эту информацию, можно найти координаты точки, в которой осуществлены измерения. Этот подход, первоначально развитый при астрономических определениях координат точки места на поверхности Земли, был затем использован в морской и воздушной навигации. В своей «классической» форме, используемой в астрономии, метод высот двух светил базируется на измерениях высот и азимутов двух звезд либо высот и разности азимутов звезд.

Поскольку на подвижных объектах определение азимута требует наличия точного измерителя курса, то в литературе [3] рассмотрены алгоритмы, предусматривающие вычисление углов азимута светил. Измерение разности азимутов двух звезд осуществить на подвижном объекте проще, чем измерение самих углов, поскольку для определения этой величины следует измерить только курсовые углы двух звезд.

Однако метод высот двух светил позволяет вычислить координаты точки места вообще без привлечения информации о каких-либо азимутальных координатах светил. Для использования этого метода достаточно располагать значениями углов высот двух звезд, полученных путем измерений, либо значениями sin h₁ и sin h₂.

Обратимся к рассмотрению алгоритмов определения координат точки места ЛА в этом случае. Воспользуемся первым выражением (20) и применительно к двум звездам запишем следующую совокупность равенств:

sin h₁ = sin ₁ sin + cos ₁ cos cos (S ₁);

sin h₂ = sin ₂ sin + cos ₂ cos cos (S ₂). (8)

Если полагать, что путем измерений определены значения функций sin h₁ и sin h₂ для пеленгуемой определенной пары звезд и в силу этого известны их экваториальные координаты _1,2 и _1,2, то совокупность равенств (8) можно рассматривать как систему трансцендентных алгебраических уравнений, относительно переменных и S.

Решая при помощи выбранного итерационного метода в бортовом вычислителе систему (8), можно определить координаты точки, в которой измерены высоты звезд.

Для того чтобы система уравнений вида (8) имела решения, необходимо, чтобы входящие в нее уравнения были линейно независимы. Условие независимости уравнений (8) сводится к выполнению требования

Находя соответствующие частные производные и раскрывая определитель, получаем следующее выражение для якобиана:

W = [cos ₁ sin ₂ sin (S ₁) sin ₁ cos ₂ sin (S ₂) ] cos² +

+ (1/2) cos ₁ cos ₂ sin (₂ -- ₁) sin 2

Анализ полученного выражения позволяет выявить некоторые особенности системы уравнений (8). Так, очевидно, что при = /2 якобиан равен нулю и уравнения системы несовместны.

Этот математический результат отражает тот факт, что при = /2 точка места совпадает с Северным полюсом и понятие звездного времени, а также и долготы места теряет смысл.

Рассмотрим, какой вид принимает якобиан в некоторых случаях полета.

Якобиан системы уравнений (8)равен нулю, если полет происходит в плоскости, определяемой векторами S₁₁; S₂₂, либо в некоторый момент времени траектория полета ЛА пересекает эту плоскость. При этом имеет место равенство азимутов звезд: A₁ = A₂.

Таким образом, помимо особой точки = /2 в пространстве имеется и особая плоскость (плоскость, проходящая через векторы S₁₁; S₂₂), в которой нарушается совместность уравнений (8). Этот результат объясняется тем, что при нахождении ЛА в особой плоскости имеет место равенство h₂ = h₁ + , где есть постоянный угол между векторами S₁₁; S₂₂ .

При полете в этой плоскости, в принципе, достаточно измерять высоту одной из звезд, так как измерение высоты второй звезды не дает новой информации. По измерению, например, h₁ однозначно определяется положение ЛА в плоскости S₁₁; S₂₂, а положение последней в пространстве (относительно базиса ₁, ₂, ₃) всегда известно.

Поскольку система уравнений (8) нелинейна, то при ее решении можно использовать лишь численные (итерационные) методы. Рассмотрим некоторые численные методы, использование которых возможно в бортовой ЦВМ. Алгоритмы численного решения системы уравнений должны обеспечивать требуемую точность определения координат. При этом количество арифметических операций, осуществляемых в ЦВМ, желательно свести к минимуму. Выполнение последнего требования, в конечном счете, приводит к сокращению продолжительности цикла вычислений и уменьшению погрешностей, вызванных влиянием конечной длины разрядной сетки. В настоящее время разработаны различные численные методы решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

Полагаем, что углы склонений _1,2 и прямых восхождений _1,2 выбранной для пеленгации пары звезд известны с приемлемой точностью. Примем также, что в результате измерений определены

sin H₁ = sin h₁; sin H₂ = sin h₂

Кроме того, будем считать, что известны приближенные значения координат точки места _п и S_п = T + _п.

Знание приближенных значений координат необходимо для того, чтобы процесс итерационного решения можно было бы осуществить и, кроме того, для исключения неоднозначности решения системы (8), поскольку, как нетрудно видеть, эта система может иметь две пары решений: ; S и ; S.

Информацию о величинах _п и _п можно получить от астрономического вычислителя координат или от инерциальной системы. Располагая величинами д₁₎₂, _1,2, _1,2, _п и S_п, в бортовой ЦВМ можно вычислить

sin h_B = sin ₁ sin _п + cos ₁ cos _п cos (S_{п 1});

sin h_2B = sin ₂ sin _п + cos ₂ cos _п cos (S_{п 2})

Представим теперь функции sin h₁ и sin h₂ в виде разложения в ряд в окрестностях точки с координатами _п, S_п. Ограничиваясь тремя членами ряда, имеем

Частные производные, входящие в (14), имеют вид

д sin h₁/ д = sin ₁ cos cos ₁ sin cos (S ₁);

д sin h₂/ д = sin ₂ cos cos ₂ sin cos (S ₂);

д sin h₁/ дS = cos ₁ cos sin (S ₁); (15)

д sin h₂/ дS = cos ₂ cos sin (S ₂);

и их значения в точке с координатами _п, S_п всегда могут быть вычислены. Положим, что в вычислителе сформированы следующие разности:

₁ = sin h_1В sin h₁, ₂ = sin h_2В sin h₂. (16)

Выражения (17) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных и S, которые имеют смысл итерационных поправок к приближенным значениям координат.

Уравнения (17) разрешимы, если их якобиан:

не равен нулю. Нетрудно видеть, что свойства якобиана системы (18) аналогичны свойствам якобиана системы (8) и уравнения (17) разрешимы во всех, за исключением отмеченных ранее, случаях.

Решения системы (17) имеют вид

;

Используя и S, определенные по (19), можно найти уточненные значения координат

_1п = _п + ; S_1п = S _п + S

Получив по (20) значения координат, итерационную процедуру можно повторить и в результате найти новые значения поправок и еще раз уточнить координаты, полученные после первого итерационного цикла.

Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока не будут выполнены условия

|₁| ; |₂| ,

где число, задаваемое из соображений требуемой точности вычисления координат.

Таким образом, на каждом итерационном такте в ЦВМ выполняются следующие операции: вычисляются значения sin h_1B и sin h_2В; находятся ₁ и ₂; определяются значения соответствующих частных производных; вычисляется по формуле значение якобиана системы; определяются по формулам (19) значения и S; находятся уточненные значения координат места по формулам (20).

Рассмотренная итерационная процедура соответствует использованию при решении системы уравнений (8) так называемого метода Ньютона. Эта процедура несколько упростится, если значения соответствующих частных производных и якобиана системы вычислить лишь один раз на первом итерационном цикле, используя для этой цели значения _п и S_п. Тогда в последующих итерационных циклах поправки и S будут вычисляться проще, в частности, в выражениях (19) не потребуется выполнять операции деления. Изложенное изменение процедуры соответствует построению решений системы (8) по так называемому модифицированному методу Ньютона.