Выводы по главе II
Заключение
Введение
Актуальность исследования небесномеханической задачи 4-х тел обусловлена ее многочисленными приложениями. В настоящее время исследование свойств траекторий различных динамических систем, выделение семейств хаотических и регулярных движений, доказательство интегрируемости или неинтегрируемости динамической системы - популярная тема исследований.
Актуальные объекты исследования (многочисленные приложения к модельной задаче) - экзопланетные системы, в частности, их динамика и устойчивость; траектории космических аппаратов со многими гравитационными маневрами у планет; астероиды, сближающиеся с Землей (не рассматривается в данной работе) и т. д..
Целью данной работы является исследование небесномеханических аспектов модельной задачи четырех тел.
Основные задачи, направленные на достижение цели:
1) Исследовать зависимость расстояния между основным телами системы от их массы и температуры тела m0. Рассмотреть тройную статическую систему тел и четырехкратную динамическую систему (центральную конфигурацию четырех тел). Для центральной конфигурации четырех тел записать уравнения движения в инерциальной и неинерциальной системе отсчета, вывести основные расчетные формулы (для модулей радиус-векторов, направленных от центра масс до основных тел системы, для квадрата угловой скорости, для расчета косинусов углов). Выведенные соотношения понадобятся в каждом аспекте задачи для расчета величин и для построения соответствующих графиков. В качестве приложения к этому аспекту задачи предполагается оценка области местонахождения экзопланет земного типа в устойчивых кратных системах звезд.
2) Исследовать устойчивость точек либрации (точек Лагранжа) в центральной конфигурации четырех тел. При разном соотношении масс компонент системы построить траектории движения тела, помещенного в начальный момент времени в одну из точек либрации. В качестве приложения предлагается использовать поиск устойчивых траекторий частиц в арках и дугах планет-гигантов.
3) Исследовать зависимость траектории тела малой массы m0 от его начальной скорости. Построить графики движения тела при разных значениях скоростей. Проанализировать результаты численных экспериментов. Приложение к данному аспекту задачи - транспортная система из трех окололунных космических аппаратов.
Метод исследования - численное интегрирование дифференциальных уравнений движения методом Рунге-Кутта четвертого порядка с использованием пакета прикладных программ MapleTM13. То есть, исследование динамических систем осуществляется численными методами. Используемые приемы: аналитическое описание физического процесса (движение небесных тел в ИСО и НСО), моделирование физических процессов с помощью прикладных программ.
Глава I. Модельная задача четырех тел
1.1 Описание конфигураций небесных тел
В 2008 году появилось несколько интересных работ, посвященных центральным конфигурациям [1], [2]. Авторы этих работ рассмотрели новые центральные конфигурации, как правило, не уделяя внимания исследованию устойчивости этих динамических систем, определению соответствующих точек либрации, приложению этих динамических моделей для реальных небесномеханических систем.
В работе [3] исследованы центральные конфигурации N тел, но особое внимание обращается на устойчивые центральные конфигурации 4-х тел.
Рассмотрим четырехкратную гравитирующую систему тел. m1 -самое массивное тело системы, m2 = m3<m1, m0 - пробное тело, масса которого очень мала, и ею можно пренебречь. Тела m1, m2, m3 расположены в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Тело массой m0 лежит на прямой, соединяющей m1 и середину противолежащей стороны.
В поле тяготения больших масс есть особые точки, где пробное тело может находиться неограниченно долго, если его движение не возмущать, они называются точками либрации или точками Лагранжа. В начальный момент времени тело m0 лежит в точке либрации L1 (Рис. 1а).
Полагаем, что данная конфигурация является центральной, то есть расстояния между телами со временем не изменяются, и все они вращаются относительно центра масс с одной и той же угловой скоростью щ.
Рис. 1 (а, б). Центральные конфигурации четырех тел, где m1 - самое массивное тело, m2, m3 - два тела одинаковой массы, m0 - тело малой массы.
С - центр масс системы; R1, R2, R3, R0 - радиус-векторы от центра масс до тел; x, y - координатные оси; L1, L2 - точки либрации. Система равномерно вращается
Вторая конфигурация отличается от первой тем, что тело m0 в начальный момент времени лежит в точке либрации L2 (Рис. 1б).
1.2 Уравнения движения системы в инерциальной системе отсчета
Запишем уравнения движения тел в инерциальной системе отсчета. Начало системы координат лежит в центре масс системы тел (С). Уравнения движения первого тела имеют вид:
Первое уравнение системы описывает гравитационные силы, действующие на тело массой m1 со стороны тел m2 и m3, второе уравнение - центробежные силы.
Выразим отсюда квадрат угловой скорости
Начало координат находится в центре масс системы, поэтому
В проекциях на ось Ox:
Из геометрии
Для тела массой m2 (m3) справедливо
Исходя из этого равенства, учитывая (1.2.1) и (1.2.3)
Из уравнения (1.2.2), подставляя (1.2.4) и (1.2.5), выразим
Для тела малой массы запишем
Приравняем (1.2.1) и (1.2.6), получим уравнение для расчета R0
Получены основные расчетные формулы в инерциальной системе отсчета. Это выражения для расчета R1 (1.2.4), R2=R3 (1.2.5), R0 (1.2.8), щ2 (1.2.3), cos г (1.2.6).
1.3 Уравнения движения системы в неинерциальной системе отсчета
Для исследования устойчивости точек либрации L1 и L2 (в малой окрестности) нужно записать уравнения движения в неинерциальной системе отсчета (). Начало соответствующей системы координат Lxy лежит в точке либрации (См. Рис. 1 (а, б)).
Если среди корней характеристического уравнения, вытекающего из системы уравнений (1.3.1), нет корней с положительными вещественными частями, то точка либрации будет устойчивой, в противном случае - неустойчивой.