1.2 Уравнения движения системы в инерциальной системе отсчета

Запишем уравнения движения тел в инерциальной системе отсчета. Начало системы координат лежит в центре масс системы тел (С). Уравнения движения первого тела имеют вид:

Первое уравнение системы описывает гравитационные силы, действующие на тело массой m₁ со стороны тел m₂ и m₃, второе уравнение - центробежные силы.

Выразим отсюда квадрат угловой скорости

Начало координат находится в центре масс системы, поэтому

В проекциях на ось Ox:

Из геометрии

Для тела массой m₂ (m₃) справедливо

Исходя из этого равенства, учитывая (1.2.1) и (1.2.3)

Из уравнения (1.2.2), подставляя (1.2.4) и (1.2.5), выразим

Для тела малой массы запишем

Приравняем (1.2.1) и (1.2.6), получим уравнение для расчета R₀

Получены основные расчетные формулы в инерциальной системе отсчета. Это выражения для расчета R₁ (1.2.4), R₂=R₃ (1.2.5), R₀ (1.2.8), щ² (1.2.3), cos г (1.2.6).

1.3 Уравнения движения системы в неинерциальной системе отсчета

Для исследования устойчивости точек либрации L₁ и L₂ (в малой окрестности) нужно записать уравнения движения в неинерциальной системе отсчета (). Начало соответствующей системы координат Lxy лежит в точке либрации (См. Рис. 1 (а, б)).

Если среди корней характеристического уравнения, вытекающего из системы уравнений (1.3.1), нет корней с положительными вещественными частями, то точка либрации будет устойчивой, в противном случае - неустойчивой.

Выводы по главе I

В данной главе были рассмотрены две центральные конфигурации четырех тел (Рис. 1 (а, б)). Записаны уравнения движения системы в инерциальной системе отсчета, получены основные расчетные формулы: выражения для расчета R₁ (1.2.4), R₂=R₃ (1.2.5), R₀ (1.2.8), щ² (1.2.3), cos г (1.2.6). Записаны уравнения в неинерциальной системе отсчета (1.3.1). То есть, получены все необходимые выражения для дальнейших численных экспериментов.

Глава II. Небесномеханические аспекты задачи четырех тел

2.1 Исследование зависимости расстояния между основными телами системы от их массы и температуры тела m₀

Во времена Дж. Х. Джинса (1877 - 1946), известного английского астрофизика, в астрономии и космогонии господствовало представление о том, что планетные системы во Вселенной величайшая редкость, поскольку считалось, что они образуются в результате катастрофических сближений пар звезд, а такие звездные столкновения характеризуются чрезвычайно малой вероятностью (величина межзвездных расстояний огромна по сравнению с размерами звезд). Не случайно астрофизик И. С. Шкловский (МГУ) ставил задачу поиска планет около звезд первой в цепи грядущих фундаментальных проблем в одном ряду с такой грандиозной проблемой астрофизики, как сингулярность Вселенной.

С 1995 года до 2010 года вблизи других звёзд из наблюдений обнаружена 461 планета типа Юпитера и Сатурна. В настоящее время ещё не разработаны теоретические методы открытия внесолнечных планет. Значительный объём наблюдательной информации требует систематизации этих тел на основе физических законов и ставит задачу о разработке теоретических методов их происхождения и открытия.

Актуальность и фундаментальность проблемы поиска жизни во Вселенной [6] подтверждает открытие NASA (США) Института астробиологии в 1998 году. Его цель - исследование возможных проявлений жизни на других телах Солнечной системы и особенностей образования органических веществ, изучение живых существ, потенциально способных обитать на других небесных телах, а также другие вопросы, связанные с зарождением и развитием жизни в Метагалактике.

2.1.1 Оценка области местонахождения планет земного типа в тройной системе тел

Рассмотрим систему из трех небесных тел: две звезды, температуры и радиусы которых равны), и планета с температурой и радиусом соответственно (рис. 2). Предположим, что расстояние (2a) между звёздами не изменяется. Определим расстояние r(ц), при котором температура планеты равна заданному значению T_p.

Рис. 2. Система трех тел: Z₁, Z₂ - две звезды типа Солнца, P - планета земного типа

На основании закона Стефана - Больцмана, запишем

Произведем замену переменных

С учетом замены, уравнение примет вид

Находим корни квадратного уравнения (2.1.1.1), возвращаемся к прежним переменным и выражаем зависимость :

Полагая, что

Таб. 1. Расстояние (от начала координат) "планеты земного типа" с жидкой водой в системе двух звёзд, подобных Солнцу

Используя данные таблицы 1, строим график функции (2.1.1.2) - (ц) при и при в полярных координатах.

Рис. 3. Область, заключенная между двумя эллипсами, является зоной местонахождения планет, пригодных для жизни земного типа (по температуре на поверхности)

2.1.2 Оценка области местонахождения планет земного типа в четырехкратной системе звезд

Рассматриваем центральную конфигурацию Рис. 1 (а). В данном приложении к задаче m₁ - скопление звезд, m₂ , m₃ - две звезды типа Солнца, m₀ - экзопланета.

Произведем поиск изотермических областей с температурами и - практически предельными для земной жизни. Найдём расстояния между основными телами (а₁ и a₂) для этих значений температур.

Рассмотрим три случая отношения масс компонент системы:

1. m₂=m₃=m _sun; m₁=368m _sun (планета, две звезды типа Солнца и рассеянное скопление звёзд - типа Солнца). Из уравнения теплового баланса, принимая альбедо планеты A=0.3, с учётом закона Стефана - Больцмана и известной светимости Солнца ; находим для , =35.39327 а. е.; для , =16.87100 а. е..

2. m₂=m₃=m _sun; m₁=106 m _sun (планета, две звезды типа Солнца и шаровое скопление звёзд - типа Солнца). Аналогично случаю 1, находим расстояния a_1,2 при . =13000.17067 а. е.; =6196.81467 а. е..

3. m₂=m₃=m _sun; m₁=2_*1011 m _sun (планета, две звезды типа Солнца и галактика, состоящая из звезд типа Солнца). = 579328.6667 а. е.; = 276149.3333 а. е..

При увеличении отношения m₁/m₂ параметр а (сторона треугольника) увеличивается.

Область местонахождения экзопланет земного типа все более отдаляется от центра масс системы тел.

В трех случаях были рассчитаны расстояния между телами при двух критических температурах. При изображении двух треугольников в одной системе координат, получится область, заключенная между внешним и внутренним треугольником. Она и является зоной местонахождения экзопланет земного типа.

2.2 Исследование устойчивости точек либрации

В XX столетии кольца, состоящие из пыли и каменисто-ледяных малых тел, диаметром менее 10 метров, были обнаружены около всех планет-гигантов. Кроме того, все планеты-гиганты обладают системами колец [4]. Простые аналитические модели движения этих небесномеханических систем не найдены [9, 10]. Авторы работ [7] и [8] предлагают использовать различные модели центральных конфигураций для удовлетворительного описания данных динамических систем. Будем рассматривать две центральные конфигурации: Рис. 1 (а) и Рис. 1 (б).

На основании методов и теорем А. М. Ляпунова значение центральной массы, при которой среди корней Щ характеристического уравнения, вытекающего из системы уравнений (1.3.1),

нет корней с положительными вещественными частями, m_max/m_min = 367.0540108. Движение тела m₀ будет устойчивым при отношении масс m₁/m₂ > 367 [3].

2.2.1 Первая небесномеханическая модель движения частиц в дугах колец планет

Исследуем устойчивость точки либрации L₁ [5]. Рассмотрим Рис. 1 (а). Для проведения численных экспериментов ( численное интегрирование системы уравнений (1.3.1) методом Рунге-Кутта 4 порядка, с использованием пакетов прикладных программ "MAPLE^TM13") за единицу длины выберем расстояние между телами a, за единицу массы примем массу второго тела m₂=m₃, за единицу времени возьмём такое значение, при котором гравитационная постоянная G=1. При начальных условиях и отношении масс m₁/m₂ = 365, точка либрации L₁ является неустойчивой.

На Рис. 4 показано, что тело с нулевой массой m₀ (частица), удаляясь от точки либрации L₁, может перейти на траекторию временного спутникового захвата вокруг тела m₃ (спутник), сблизиться с телом массы m₂ (спутник) и снова сблизиться с точкой либрации L₁.

Рис. 4. Неустойчивое движение тела частицы массой m₀ в окрестности точки либрации L₁ при m₁/m₂=365. R₁=0.004719484, R₂=0.9959156, щ²=367.00000, t=38 единиц времени (число оборотов основных тел 115, 86)

При тех же начальных условиях, но при отношении масс m₁/m₂ = 370, движение частицы происходит только в малой окрестности точки L₁.(рис. 5, 6).

Рис. 5. Устойчивое движение частицы массой m₀ в окрестности точки либрации L₁ при m₁/m₂=370. t=5 единиц времени (число оборотов основных тел 15.348)

В системе Lxy частица, после удаления от точки либрации, периодически возвращается к ней. R₁=0.0046566050, R₂=0.9959704627, щ²=372.00000, R_L =0.9968581786.

Рис. 6. Устойчивое движение частицы массой m₀ в окрестности точки либрации L₁ при m₁/m₂=370. t=400 единиц времени (число оборотов основных тел 1227.87). R₁=0.0046566050, R₂=0.9959704627, щ²=372.00000, R_L =0.9968581786

Исходя из проведенных численных экспериментов, можно сделать вывод о том, что точка либрации L₁ является устойчивой.

2.2.2 Вторая небесномеханическая модель движения частиц в дугах колец планет

Исследуем устойчивость точки либрации L₂ [11]. Рассмотрим центральную конфигурацию Рис. 1 (б). Для нее справедливы формулы для вычисления R₁ (1.2.4), R₂=R₃ (1.2.5), щ² (1.2.3). Уравнение движения частицы m₀, помещенной в точку либрации L, в инерциальной системе координат (С) имеет вид (2.2.2.1)

Уравнения движения в неинерциальной системе отсчета будут иметь вид (1.3.1). Система координат Lxy равномерно вращается с угловой скоростью щ; m₂=m₃=1; G=1; a=1; x(0)=y(0)=0; (dx/dt)₀=(dy/dt)₀=10^-9 ед. скорости; t=20 ед. времени; (x₂, y₂ ), (x₃, y₃ ) - координаты тел с массами m₂, m₃ в системе Lxy; y₂ = y₃ = 0.5.

Рис. 7. m₁/m₂=1100, щ²=1102, R/a = 1.0005993527, R₁ = 0.0015717339,

R₂ = R₃ = 0.9986391476, x₂=x₃=-1.8650530225. Хаотическое движение частицы массой m₀ при данном отношении масс

Рис. 8. m₁/m₂=1250, щ²=1252, R/a =1.0005275542, R₁ = 0.0013834272,

R₂ = R₃ = 0.9988021565, x₂=x₃=-1.8651695309

Рис. 9. m₁/m₂=1300, щ²=1302, R/a =1.0005072973, R₁ = 0.0013303002,

R₂ = R₃ = 0.9988481477, x₂=x₃=-1.8652024009

При таком отношении масс (Рис. 9, 10) движение частицы упорядоченно.

Рис. 10. m₁/m₂=10000, щ²=10002, R/a =1.0000660438, R₁ = 0.0001731705,

R₂ = R₃ = 0.9998500338, x₂=x₃=-1.8659182771

Из численных экспериментов видно, что точка либрации L₂ является неустойчивой.

При дальнейшем увеличении отношения масс m₁/m₂, область движения тела с нулевой массой (частицы на дуге кольца) будет сужаться. Поиск дуг колец в планетарных системах с устойчивыми орбитами, должен производиться при заметном различии масс планеты и ее спутников (m₁/m₂ > 1000).

Рассмотренную модель движения пробной частицы предлагается использовать для описания особенностей строения кольцевых структур планет-гигантов.

2.3 Исследование зависимости траектории тела малой массы от его начальной скорости

2.3.1 К проекту создания группировки космических станций в окололунном пространстве

На ближайшие десятилетия намечено активное освоение Луны.

Во-первых, на прошедших в Москве XXXV Академических чтениях по космонавтике ("Королёвские чтения"), ГКНПЦ имени М.В.Хруничева представил весьма амбициозные планы покорения космоса. В программе, рассчитанной на 30 лет, прописано полноценное освоение Луны и Марса. По мнению специалистов ведущего космического предприятия России, завоевание других планет должно начаться с создания сборочной платформы на низкой околоземной орбите. Следующий этап - развертывание лунной орбитальной станции (ЛОС). База на орбите естественного спутника позволит исследовать Луну и управлять автоматами на ее поверхности без запаздывания сигнала. В наиболее интересных с точки зрения науки областях Луны будут созданы посещаемые базы. Со временем базы станут постоянно обитаемыми, начнется следующий этап - развертывания промышленности, с целью использования местных ресурсов для жизнеобеспечения космонавтов и заправки кораблей.

Во-вторых, один из двух билетов в первый коммерческий космический полет вокруг Луны на российском пилотируемом корабле "Союз" продан. Глава компании Space Adventures Эрик Андерсон отметил, что первый коммерческий пилотируемый космический полет к Луне и обратно на корабле "Союз" состоится примерно в 2015 году.

В-третьих, осенью была опубликована подробная карта распределения воды на Луне, составленная по данным прибора LEND, сконструированного российскими учеными. Сейчас готовится экспедиция к воде в приполярных областях. Впервые за тридцать с лишним лет Россия летит на Луну.

Исходя из вышесказанного, исследования в данной области в настоящее время весьма актуальны.

Вновь обратимся к центральной конфигурации на Рис. 1 (а) [5]. В данном приложении m₁ - Луна, m₂, m₃ - две космические станции, m₀ - космический аппарат (КА). Возьмем отношение масс m₁/m₂=10⁶ (движение тела в окрестности точки либрации L₁ будет устойчивым) и исследуем зависимость максимального смещения (отклонения от положения равновесия) устойчивой точки либрации L₁ от величины dx/dt=dy/dt (начальной скорости тела). Исследуем траектории движения КА вблизи устойчивой точки либрации L₁ при разной начальной скорости тела.

Рис. 11. Траектории движения спутника вблизи устойчивой точки либрации в зависимости от его начальной скорости.

dx/dt=dy/dt изменяется от 10^-10 до 10^-2 ед. скорости (9 графиков)

Таб.2. Обобщение полученных результатов

Рис. 12. График зависимости смещения по оси OY от начальной скорости (в логарифмическом масштабе)

планета либрация космический окололунный

Рис. 13. График зависимости смещения по оси OX от начальной скорости (в логарифмическом масштабе)

Рис. 14. "Сглаживание" графика (логарифмический масштаб)

С ростом начальной скорости увеличивается площадь, которую "заполняет" тело (КА) при движении. Но из-за малого времени движения, траектории тела покрывают площадь неоднородно. При скорости dx/dt=10^-5 наблюдается выпавшее значение X, полученный результат пока не нашел объяснения. На основе рассмотренной модели, представляющей собой центральную конфигурацию четырех тел, возможно прогнозирование и получение траекторий движения КА (спутника) вблизи точек либрации в похожих системах тел. Полученные результаты предлагается использовать при полетах КА, проводящихся с целью исследования и дальнейшего освоения Луны.

Выводы по главе II

В главе II представлены некоторые аспекты задачи четырех тел и найдены их возможные приложения.

аспект 1: Исследование зависимости расстояния между основными телами системы от их массы и температуры тела m₀ (приложение - оценка области местонахождения планет земного типа в тройной и четырехкратной системах тел);

аспект 2: Исследование устойчивости точек либрации (приложение - движение частиц в дугах колец планет);

аспект 3: Исследование зависимости траектории тела малой массы от его начальной скорости (приложение - к проекту создания группировки космических станций в окололунном пространстве).

Заключение

В ходе выполнения работы были получены следующие результаты:

1) исследована зависимость расстояния между основным телами системы от их массы и температуры тела m₀;

2) исследована устойчивость точек либрации;

3) исследована зависимость траектории тела малой массы от его начальной скорости.

Найдены решения данных задач. Подобраны соответствующие приложения к каждому из рассмотренных аспектов, сделаны выводы. В результате работы реализована поставленная цель.

Библиографический список

1. Aribas M. et. al. Homographic solutions in the planar n + 1 body problem with quasi-homogeneous potentials // Celestial Mechanics, 2007. V. 99. N 1. P. 1 - 12.

2. Marshal, H., Manuele, S. Seven-body central configurations: a family of central configurations in the spatial seven-body problem // Celestial Mechanics, 2007. V. 99. N 4. P. 293-305.

3. Perov, N. I., Medvedev, Yu. D. Central configurations of N bodies as models of secondary coorbital planets and planetary rings. Abstr. of 39-th Lunar-Planetary Science Conference (Houston, USA, March, 2008). Houston: LPI, 2008. Abstr. N 1029.

4. Planetary Fact Sheets [Электронный ресурс]. URL : http://nssdc.gsfc.ov/ planetary/ factsheet (дата обращения 22.04.2011).

5. Perov N. I., Kondratieva A. V. Localization of boundaries of life of the Earths type in the star clusters // Abstr. of the 41-st Lunar- Planetary Science Conference (The Woodlands, Texas, USA, March 1-5, 2010). Abstract #1028.

6. Радзиевский, В. В., Перов, Н. И. Фундаментальная проблема астрофизики [Текст] // Ярославский педагогический вестник. Ярославль: ЯГПУ, 2002. №1. (30). С. 142-148.

7. Corbera, M., Cors, J. M., Llibre, J. On the central configurations of the planar

8. 1 + 3 body problem // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. 2011. V. 109. N. 1. P. 27-43.

9. Winter A. The Analytical Foundations of Celestial Mechanics. Prinston. New York, 1941.

10. Горькавый, Н. Н., Тайдакова, Т. А. Многокомпонентный эпитон и Галатея [Текст] // Н. Н. Горькавый, Т. А. Тайдакова // Письма в астрономический журнал - 1993. - Т. 19, № 4.- С. 375-384.

11. Горькавый, Н. Н., Фридман, А. М. Физика планетных колец: небесная механика сплошной среды [Текст] // Н. Н. Горькавый, А. М. Фридман. -

12. М.: Наука, 1994. - 348 с.

13. Медведев, Ю. Д., Перов, Н. И. Ограниченная задача четырех тел. Случай центральной конфигурации: точки либрации, устойчивость [Текст] // Ю. Д. Медведев, Н. И. Перов // Письма в астрономический журнал РАН. - 2008. - Т. 34, № 5. - С. 392-400.

14. Перышкин, А. В., Гутник, Е. М. Физика 9 класс [Текст]. - М: Дрофа, 2005. 58 - 61 с.

15. Касьянов, В. А Физика 10 класс [Текст]. - М: Дрофа, 2003. 108 - 111 с., 163 - 168 с.

16. Левитан, Е. П. Астрономия 11 [Текст]. - М: Просвещение, 2006. 35 - 40 с.

17. Рымкевич, А. П. Задачник 10-11 классы [Текст]. - М: Дрофа, 2006. 169 - 180 с.

18. Рой, А. Движение по орбитам [Текст]. - М.: Мир, 1981. 139 - 142 с.

19. Дубошин, Г. Н. Небесная механика. Основные задачи и методы [Текст]. - М.: Наука, 1975. 387 - 417 с., 575 - 777 с.

20. 

Приложение

Список публикаций Кондратьевой А.В.