3. Геоцентрические координаты светил. Изменение координат во времени

При введении в рассмотрение сферических координат светила предполагается, что центр единичной сферы О (или центр сферы произвольного радиуса) расположен в точке, в которой находится наблюдатель.

Наблюдение светила производится либо с поверхности Земли, при этом наблюдатель участвует в суточном вращении Земли и движется вместе с нею по ее орбите, либо с подвижного объекта (самолета). В этом случае помимо указанных движений точка наблюдения (астрономический прибор) участвует еще и в движении относительно Земли.

Естественно, встает такой вопрос будут ли изменяться сферические координаты светила при изменении положения в пространстве точки наблюдения? Если координаты изменяются, то для каждого положения точки наблюдения (центра сферы) значение координат будет свое. Если наблюдаемые координаты светил не зависят от положения точки наблюдения, то, следовательно, центр сферы может располагаться в произвольной точке, например в центре Земли.

Угловые координаты светил могут менять свою величину из-за влияния следующих факторов:

изменения положения в пространстве орта S, которое имеет место при перемещении точки начала вектора и точки, в которую он направлен;

изменения пространственного положения базовых плоскостей и линий, от которых производится отсчет углов.

Перенос начала вектора S (точки приложения), например, из точки наблюдения в центр Земли теоретически приводит к изменению угловых координат наблюдаемых светил (явление параллакса). Однако для удаленных звезд это изменение столь мало, что практически для целей навигации им можно пренебречь, поскольку величина годичного параллакса звезд не превышает 1. Можно также не принимать во внимание собственное движение звезд. Средний суточный параллакс Солнца достигает примерно 8. Суточный параллакс близких планет составляет примерно 1, а для Луны до 2°. Для искусственных путников параллакс может достигать существенных величин.

Таким образом, применительно к звездам совмещение центра сферы с центром Земли не приводит к существенным искажениям угловых координат. При наблюдении же других небесных тел явление параллакса должно приниматься во внимание. Координаты светил, определяемые на небесной сфере, центр которой совмещен с центром Земли, называют геоцентрическими.

При отсчете экваториальных координат светил базовой является плоскость экватора, определяемая как плоскость, перпендикулярная оси вращения Земли. Ориентация мгновенной оси вращения Земли относительно звезд, строго говоря, не является постоянной. Из-за наличия лунно-солнечной прецессии вектор угловой скорости Земли движется по образующей конуса, ось которого нормальна к плоскости эклиптики. Период прецессии примерно 26 000 лет. За счет этого движения направление оси вращения Земли изменяет свою ориентацию примерно на 20" в год, а линия пересечения плоскостей эклиптики и экватора, проходящая через точки и C поворачивается в плоскости эклиптики на 50" в год. Этот эффект должен учитываться при использовании значений экваториальных координат светил при точных навигационных расчетах.

К изменению экваториальных координат приводят также нутационные колебания Земли (I" за год), вращение плоскости эклиптики (0,5" в год) и движение Земли относительно центра масс системы Земля Луна (0,1" в год). Однако влиянием этих факторов при построении астронавигационных устройств обычно пренебрегают.

Таким образом, если экваториальные координаты и определены с учетом их изменения за счет лунно-солнечной прецессии, то на интервале времени полета атмосферного летательного аппарата (самолета) можно принять:

склонения и прямые восхождения звёзд не меняют своих величин;

ось вращения Земли неизменно направлена в пространстве;

плоскости склонений звезд в пространстве располагаются неизменно.

Часовой угол звезды не является постоянной величиной. Выше часовой угол был определен, как двугранный угол между плоскостью склонений и плоскостью меридиана места (небесного меридиана).

Плоскость склонений звезды не меняет своего положения в пространстве, как при движении Земли, так и при полете JlA относительно Земли. Плоскость же меридиана места (небесного меридиана) вращается вокруг полярной оси Земли (оси мира) со скоростью, равной угловой скорости Земли и, если наблюдатель находится на поверхности Земли. Если же кроме того наблюдатель движется относительно Земли в восточном или западном направлении, то плоскость меридиана места вращается в пространстве с угловой скоростью, равной сумме и и скорости изменения долготы _В.

Следовательно, часовой угол светила изменяется либо со скоростью, равной и (для наблюдателя, находящегося на поверхности Земли), либо со скоростью

t = и + _В

при полете на восток или

t = и ₃

при полете на запад.

В астрономии и навигации используется понятие гринвичского часового угла светила. Это двугранный угол между плоскостями склонения светила и гринвичского меридиана. Обозначается этот угол обычно t_r.

Из рис.8 следует, что

t_r = t _В или t_r = t + _В.

Скорость изменения t_r определяется выражением t_r = и. Итак, для звезд экваториальные координаты: склонение и прямое восхождение можно считать постоянными, на интервале времени полета JIA, а часовой угол t изменяется из-за вращения Земли и движения JIA относительно Земли.

Для планет Солнечной системы, а также и для Солнца, постоянство величин и уже не имеет места в силу их движения по собственным орбитам. Так, например, склонение Солнца в период летнего солнцестояния "достигает величины 23°27,а в период зимнего солнцестояния 23°27, т. е. за год склонение Солнца изменяется примерно на 47°. Нетрудно видеть, что скорость изменения склонения Солнца весьма мала. Так как скорости изменения склонения и прямого восхождения Солнца невелики, то при непродолжительных полетах можно считать углы и Солнца практически постоянными.

Рассмотрим теперь, как изменяются горизонтальные координаты светила в случае, когда имеет место движение ЛА, на котором установлен астрономический прибор (находится наблюдатель) относительно Земли.

Если для экваториальных координат закономерности их изменения нетрудно было установить из качественного рассмотрения, то в случае горизонтальных координат из чисто качественного рассмотрения не удается получить полной картины. Поэтому определим выражения для угловых скоростей h и А_Ю аналитически.

На рис.9 плоскость, проходящая через линию OY₀ и вектор S, есть плоскость вертикала. Система координат X₀Y₀Z₀ (X₀ направлена в точку Севера, Y₀ в зенит и Z₀ в точку Востока) при движении объекта вращается в пространстве с угловой скоростью (имеет место при движении JlA в северном или южном направлении) вокруг оси Z₀ и, кроме того, с угловой скоростью и + вокруг оси мира. Очевидно, что в силу этого вращения меняют свое Положение в пространстве плоскости горизонта и вертикала, что, в свою очередь, будет приводить к изменению координат h и А_Ю, характеризующих положение вектора S в трехграннике X₀Y₀Z₀.

Производную от единичного вектора S запишем в виде

dS/dt = x S , (8)

где вектор абсолютной угловой скорости орта S.

С другой стороны, эту же производную можно представить так:

dS/dt = /dt + x S, (9)

где локальная производная от вектора вектор dS/dt характеризует угловую скорость, с которой вектор S меняет свое положение относительно системы координатных осей, вращающейся с абсолютной угловой скоростью . Подставляя (9) в (8), находим

= S x ( ). (10)

Представим векторы S и в координатной форме в осях трехгранника X₀Y₀Z₀:

S = i₀S₁ + j₀S₂ + k₀S₁ = i_o cos h cos А_Ю + j₀ sin h k₀ cos h sin A_Ю, (11)

где i₀, j₀, k₀ орты осей трехгранника X₀Y₀Z₀.

Проецируя вектор u + на оси трехгранника X₀, Y₀, Z₀, находим

₁ = (и + ) cos ; ₂ = (и + ) sin . (12)

Вектор направлен по оси Z₀ и, следовательно,

₂ = . (13)

Используя (11), получим выражение для локальной производной:

dS/dt = i₀ (h sin h cos А_Ю + А_Юcos h sin А_ю) + j₀h cos h + k₀ (h sin h sin А_Ю А_Ю cos h cos A_Ю). (14)

Теперь, раскрывая векторное произведение в правой части (10) и принимая при этом = 0, получаем следующую группу скалярных равенств:

h sin h cos А_Ю + А_Ю cos h sin А_Ю = sin h + (u + ) sin cos h sin А_Ю;

hcosh = cos h cosA_Ю (и + ) cos cos h sin А_Ю; (15)

h sin h sin А_Ю А_Ю cos h cos A_Ю = (u + ) sin cos h cos A_Ю (u + ) cos sin h.

Из второго равенства (15) и из совокупности первого и третьего получаем:

h = cos А_Ю (и + ) cos sin А_Ю;

А_Ю = (u + ) sin + [(u + ) cos cos А_Ю sin А_Ю] tg h. (16)

Выражения (16) образуют замкнутую систему нелинейных дифференциальных уравнений, решение которой при начальных условиях h⁰ и позволяют найти функции A(t) и h(t). При этом конечно, должен быть известен характер движения точки наблюдения относительно Земли, т. е. должны быть известны функции (t) и (t) либо их производные.

В частном случае, когда точка наблюдения неподвижна относительно Земли система уравнений (16) принимает вид

h = и cos ₀ sin A_Ю;

А_Ю = и sin + и cos + и cos ₀ cos А_Ю tg h, (17)

где ₀ широта точки наблюдения.