Функционал управления дальностью полета баллистической ракеты

Дальность стрельбы определяется как расстояние, измеренное по дуге большого круга между точкой старта и точкой пересечения нисходящей ветви траектории полета ракеты с поверхностью земного эллипсоида.

Можно показать, что дальность определяется так:

Величины - постоянны, и дальность стрельбы зависит от параметров , т. е. дальность стрельбы однозначно определяется параметрами движения ракеты относительно стартовой системы координат в момент отсечки двигательной установки:

или параметрами движения ракеты относительно инерциальной системы координат в момент отсечки двигательной установки и продолжительностью полета ракеты до этого момента :

(3)

В дальнейшем без простоты будем использовать следующие обозначения параметров движения: ; ; ; ; ; .

Если в выражении (1) принять, что параметры конца активного участка равны их расчетным (номинальным) значениям:

(4)

то получим расчетную дальность стрельбы:

(5)

При выполнении условий (4) отделение головной части можно осуществить в расчетный момент времени .

В реальном полете в расчетный момент времени параметры движения будут отличаться от расчетных значений, следовательно

(6)

Условие (3) не определяет значения каждой из величин ; и ; оно лишь требует, чтобы для достижения дальности их совокупность удовлетворяла закону, описываемому соотношением (4). Таких совокупностей может быть бесчисленное множество. С другой стороны, для каждой конкретной траектории активного участка в силу условий единственности лишь одна совокупность:

соответствует расчетной дальности . Эти соображения указывают на третий метод управления дальностью стрельбы: требуется прекращать активный участок траектории в момент , когда функция достигает требуемого значения . Реализацию указанного метода можно осуществить с помощью некоторой системы измерительных и вычислительных устройств, определяющих текущие значения и с последующим вычислением функций и непрерывным сравнением ее текущего значения с заданным .

В момент времени, когда выполняется равенство

(7)

подается команда на отделение головной части или отсечку двигательной установки . Общая постановка задачи выбора момента времени отделения головной части следующая. Этот момент должен определяться по текущим значениям измеренных параметров движения центра масс ракеты. Посредством вычислительного устройства той или иной сложности можно вычислять значение некоторой функции от текущих параметров движения и отделять головную часть ракеты, когда это значение становится равным требуемому. Функцию , с помощью которой определяется момент времени отделения головной части, будем в дальнейшем называть управляющим функционалом (“баллистическая функция”, “управляющая функция”).

Значение управляющего функционала в некоторый момент времени должно быть непосредственно связано с величиной ошибки стрельбы, которая возникла бы, если бы отделение головной части произошло в этот момент времени. Система управления должна выдавать сигнал на отделение головной части при достижении функционалом значения, соответствующего нулевой (практически-минимально возможной) величине упомянутой ошибки.

Одним из возможным управляющих функционалов является сама дальность стрельбы, выраженная через текущие координаты ракеты и проекции ее скорости:

(8)

Используя это выражение, ошибку стрельбы можно представить в виде

(9)

Функционалу (8) соответствуют уравнения управления (7) и ошибки стрельбы (9). Если головную часть определить в момент выполнения условия (7), то ошибки в дальности за счет возмущений активного участка не будет.

Однако возможности построения функционала (8) ограничены, в частности, ограниченным быстродействием вычислительной аппаратуры. Поэтому обычно используется функционал, получающийся в результате разложения функции в ряд Тейлора в окрестности расчетных значений ее аргументов. Пусть - расчетное изменение -того параметра движения по времени и - расчетный момент времени отделения головной части; - фактическое изменение -того параметра и фактический момент времени отделения головной части.

Разность (10)

будем называть полной вариацией параметра .

Аналогично (11)

полная вариация параметра .

С точностью до членов второго порядка малости относительно полных вариаций имеем:

(12)

где - вариация момента времени отделения головной части.

Частные производные в этом выражении (баллистические коэффициенты) определяются для расчетных значений переменных

Принимая во внимание выражения для вариаций (10) и (11), запишем условия равенства нулю соотношения (12):

или (13)

где

(14)

Функционал - это функционал управления дальностью полета. Величина - настроенное значение функционала управления дальностью полета ракеты. Если отличие действительного движения ракеты от расчетного невелико, т.е. вариации (10) малы, то при отделении головной части в момент времени, являющийся корнем уравнения (13), отклонение головной части от цели по дальности за счет возмущений активного участка будет величиной второго порядка малости.

Можно всегда найти момент времени отделения головной части, когда равенство (13) выполняется. Для вычисления функционала (13) в процессе полета необходимо знать компоненты вектора скорости и координаты ракеты. Определение этих данных в стартовой системе координат с помощью измерительных средств, установленных на Земле (телеуправление), вполне осуществимо с требуемой точностью. Однако при использовании инерциальных систем наведения эти параметры непосредственно не могут быть замерены. Поэтому при разработке инерциальных систем очень важно подобрать управляющий функционал достаточно простого вида, обеспечивающий требуемую точность управления дальностью.

Рассмотрим один из путей упрощения управляющего функционала дальности, пригодного для любых типов систем наведения.

Как видно из соотношения (12), отклонение точки падения головной части по дальности не только от вариаций параметров движения центра масс ракеты в плоскости стрельбы ( и ), но и от вариаций параметров бокового движения ракеты ( ). Несмотря на это, в системах управления ракетами с регулируемой тягой может использоваться схема независимого управления дальностью и направлением стрельбы.

Рассмотрим порядок величин баллистических производных для случая стрельбы на дальность км:

; ;

; ;

; .

Видно, что производные от дальности по параметрам бокового движения и существенно меньше существующих производных дальности по проекциям скоростей и координатам, характеризующим движение ракеты в плоскости стрельбы.

Независимое управление становится возможным благодаря достаточно точной работе систем регулирования кажущейся скорости, нормальной и боковой стабилизации движения центра масс ракеты. При этом вариации параметров движения центра масс ракеты в момент отделения головной части остаются в таких пределах, что для обеспечения заданной точности стрельбы нет необходимости в управляющем функционале учитывать влияние вариаций и на отклонение по дальности. В результате дальность полета определяется отделением головной части в момент времени, когда выполняется равенство:

(15)

(16)

(17)

Приведем теперь уравнение (15) к такой форме, которая позволяет получать необходимую для вычислений информацию непосредственно от инерциальных измерительных устройств.

В инерциальных измерительных системах при помощи гироскопических устройств фиксируется направление в пространстве осей некоторой системы координат. Измеряя проекции ускорений ракеты по этим осям инерциальной системы координат и интегрируя замеренные величины, получают проекции скорости ракеты и составляющие пройденного ракетой пути и, следовательно, координаты ракеты.

Как известно, инерциальные измерители ускорений могут измерять проекции кажущегося, а не действительного ускорения той точки ракеты, в которой они расположены. Вектором кажущегося ускорения какой-либо точки называют вектор разности между ускорением относительно инерциальной системы координат и ускорением силы тяжести.

(18)

Здесь – величина, пропорциональная выходному сигналу акселерометра.

Указанное обстоятельство обусловлено действием сил тяготения, которые на основании общего принципа относительности Эйнштейна нельзя отличить от сил инерции. Это приводит к тому , что ускорение силы тяжести акселерометр отмечает как ускорение, направленное в сторону, противоположную проекции вектора силы тяжести на ось чувствительности прибора.

В соответствии с выражением (18) можно ввести понятия векторов кажущейся скорости и кажущегося пути:

(19)

при и .

Координаты и составляющие скорости центра масс ракеты могут быть рассчитаны, если в уравнении движения центра масс, определяющем абсолютное ускорение

, (20)

где – радиус-вектор центра масс ракеты; известна правая часть и начальные условия (координаты и проекции скорости точки старта).

С помощью трех акселерометров, ориентированных относительно инерциальных осей и установленных в центре масс ракеты, можно вычислять три составляющие кажущегося ускорения (или скорости ). Для вычисления составляющих ускорений силы тяжести должна быть задана зависимость .

Уравнение (20) может быть решено одним из численных методов. Для автоматического вычисления функции можно использовать блок-схему, приведенную на рис. 6.

Рисунок 6 – Блок-схема замкнутой системы определения координат ракеты

Для ракет, двигающимся по траекториям, близким к расчетным, функция может быть вычислена предварительно. В этом случае блок-схема автокомпенсации становится разомкнутой с программным вводом поправки на ускорение силы тяжести (рис.7).

Рисунок 7 – Блок-схема разомкнутой системы определения координат ракеты

Определение вариаций действительных параметров движения и с помощью инерциальных измерителей с применением схем автокомпенсации усложняет систему управления дальностью. Вместе с тем оказывается, что при достаточно малых отклонениях возмущенного движения ракеты от расчетного можно перейти к кажущимся параметрам движения, непосредственно получаемым инерциальной системой измерителей. Для этого вводят понятие об изохронных вариациях параметров движения ракеты.

Рассматривая зависимости и в любой момент времени , определим изохронную вариацию в момент времени как

(21)

В частности, в момент времени имеем:

(22)

Установив связь между полной и изохронной вариациями в произвольный момент времени , для чего проэкстраполируем зависимость до некоторого момента времени, немного превышающего величину , предположив, например, что двигатель в момент времени не выключен. В соответствии с выражением (10) имеем:

(23)

Считая малой величиной и пренебрегая величинами второго порядка малости получим:

(24)

Таким образом, из выражений (21), (23) и (24) следует, что:

(25)

Полная вариация параметра выражается через изохронную вариацию аналогично:

(26)

Графически это представлено на рис. 8.

Рисунок 8 – Вариации параметров состояния ракеты

Преобразуем теперь с учетом изохронных вариаций выражение для , соответствующее упрощенному уравнению управления (15) и с учетом выражения (12):

(27)

Подставляя выражения (25) и (26) в (27), получим:

(28)

Обычные одноосные акселерометры измеряют проекцию вектора кажущегося ускорения на направление своей оси чувствительности . Тогда в соответствии с (18) получим:

(29)

где – проекция на ось ускорения центра масс ракеты относительно инерциального пространства; – проекция гравитационного ускорения на ту же ось.

Тогда (30)

Учитывая (30), выражение (28) представим в таком виде:

. (31)

Выражение во второй квадратной скобке в зависимости (31) тождественно равно нулю как производная дальности по времени полета на пассивном участке траектории. Тогда

. (32)

Рассмотрим изохронные вариации составляющих ускорения:

Появление изохронных вариаций кажущегося ускорения непосредственно связано с отклонением сил негравитационного происхождения и массы ракеты от расчетных значений; изохронные вариации гравитационного ускорения и обусловлены тем, что траектория возмущенного полета проходит выше или ниже расчетной траектории в плоскости стрельбы. Для управляемых ракет возмущенные траектории близки к расчётным, изохронные вариации гравитационного ускорения при этом малы. Тогда можно принять:

(33)

Сделанные предположения позволяют записать выражение (32) в таком виде:

. (34)

Исключим из этого выражения неизвестную величину , учитывая, что в соответствии с выражениями (10), (25) и (26):

(35)

Тогда вместо выражения (34) получим:

. (36)

Уравнение управления в этом случае может быть представлено в таком виде:

(37)

или , (38)

где (39)

(40)

Уравнение управления приведено теперь к такой форме, которая позволяет реализовать его, не прибегая к сложным вычислениям на борту ракеты.